数列新定义专题

数列新定义专题1/6课题：基于数列的新定义相关题型数列中新定义题型在近几年来算是高考中的热门考点，通常情况下会结合之前所学的函数、三角等来考察学生对相关知识的融会贯通情况，该类题型要求学生对之前所学的知识掌握要扎实，并能运用连贯，并且对于数列之前所学的相关性质也要掌握扎实，同时也会引入其他新知识点。基本要求：学生对函数及三角的相关性质要掌握熟练，其次对于数列的项数与各项的关系等要能熟练掌握。1、数列与函数相结合1）与二次函数相结合例：在直角坐标平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),P3(a3,b3),……,Pn(an,bn),……,对每一个自然数n,点Pn(an,bn)在函数y=x2的图象上，且点Pn(an,bn),点A(n,0),点B(n+1,0)，构成一个以点Pn(an,bn)为顶点的等腰三角形。（1）求对每一个自然数n，以点Pn纵坐标构成的数列bn的通项公式；（2）令，求的值。2）与指数函数相结合例：在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),P3(a3,b3),……,Pn(an,bn),……对每一个自然数n，点Pn(an,bn)在函数y=的图象上，且点Pn(an,bn)，点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以点Pn(an,bn)为顶点的等腰三角形。（1）求点Pn(an,bn)的纵坐标bn的表达式；（2）若对每一个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的范围；（3）设Bn=b1b2b3……bn(n∈N+)，若a是(2)中确定的范围内的最小整数时，求{Bn}的最大项是第几项？数列新定义专题2/63）数列与对数函数相结合例：已知函数,（1）n=1,2,3,……时，把已知函数的图像和直线y=1的交点横坐标依次记为a1,a2,a3，……，an,……。求证：a1+a2+a3+……+an1;（2）对于每一个n值，设An,Bn为已知函数图像上与x轴距离为1的两点，求证n取任意一个正整数时，以AnBn为直径的圆都与一条定直线相切，求出这条定直线的方程和切点坐标。4）数列与分段函数相结合例：设函数y=f(x)的图像是自原点出发的一条折线。当n≤y≤n+1(n=0,1,2,……)时，该图像是斜率为bn的线段（其中正常数b≠1）。设数列{xn}由f(xn)=n(n=1,2,3,……)定义。（1）求x1,x2和xn的表达式；（2）求f(x)的表达式，并写出定义域。5）数列与反函数相结合例：已知函数f(x)=(x≥2)的反函数为y=f-1(x)，若数列{an}的前n项之和为Sn(n∈N+)。对所有大于1的自然数n都有Sn=f-1(Sn-1)，且a1=2，求数列{an}的通项公式。数列新定义专题3/62、数列与三角相结合把三角函数融入到数列当中，使得数列变得复杂和陌生，但由于三角函数的周期性，也使得数列的项随之有了规律，因此在解决此类问题时，要充分利用三角函数周期性的特点，只有这样才能将所遇困难有效化解.例：数列{}na的通项公式cos2nnan，其前n项和为nS，则2016S等于多少？例：2sinsinsin(N)777nnSn，则在1S，2S，…，100S中，正数的个数是多少？例：数列{}na的通项公式222(cossin)33nnnan，其前n项和为nS.（Ⅰ）求nS；（Ⅱ）令34nnnSbn，求数列{}nb的前n项和nT.3、其他新定义题型这类题型通常会引入一些学生未学过的知识点，预设相关前提条件，再引出问题，该类题型重点在于审题，对相关题目所涉及的知识点需要牢牢把握。数列新定义专题4/6例：若数列na满足daann111（Nn,d为常数）,则称数列na为调和数列。已知数列nx1为调和数列，且2002021xxx，则165xx_____________.例：定义：称nPPPn21为n个正数nPPP,,,21的“均倒数”。若数列na的前n项的“均倒数”为121n，则数列na的通项公式为_____________.例：有限数列）（naaaA,,21，nS为其前n项和，定义nSSSn21为A的“凯森和”，如有500项的数列),,,(50021aaa的“凯森和”为2004，则有501项的数列),,,,2(50021aaa的“凯森和”为_____________.例：定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列na是等和数列，且21a，公和为5，那么18a的值为_____________，这个数列的前21项和21S为_____________.例：在数列na中，对任意Nn都有kaaaannnn112（k为常数），则称数列na为“等差比数列”.下面对“等差比数列”的判断：①k不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为cbaann（0a，1,0b）的数列一定是等差比数列；⑤等差比数列中可以有无数项为0，其中正确的是_______________.数列新定义专题5/6例：定义：若数列na对任意的正整数n，都有daann1（d是常数），则称na为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和”。已知“绝对和数列”na中，21a，“绝对公和”2d，则其前2010项和2010S的最小值为_______________.例：设nS是数列na的前n项和，若nnSS2（Nn）是非零常数，则称数列na为“和等比数列”。（1）若数列nb2是首项为2，公比为4的等比数列，则数列nb_________（填“是”或“不是”）“和等比数列”.（2）若数列nc是首项为1c，公差为d（0d）的等差数列，且数列nc是“和等比数列”，则d与1c之间满足的关系为_________.例：在数列na中，若paann212（Nnp,2，p为常数），则称数列na为“等方差数列”。下列是对“等方差数列”的判断：①若na是等方差数列，则2na是等差数列；②n)1(是等方差数列；③若na是等方差数列，则kna（Nk，k为常数）也是等方差数列；④若na是等方差数列，又是等差数列，则该数列是常数列。其中正确命题的序号是_____________.课后练习：1.若数列na满足kaaaannnn112（k为常数），则称数列na为“等比和数列”，k称为公比和。已知数列na是以3为公比和的等比和数列，其中11a，22a，则2009a_____________.数列新定义专题6/62.对数列na，规定na为数列na的一阶差分数列，其中nnnaaa1（Nn）.（1）已知数列na的通项为nnan23252（Nn），试判断na是否为等差数列或等比数列，并说明理由.（2）若数列na的首项为11a，且满足nnnaa2，记12nnnab，求数列nb的通项nb及数列na的前n项和nS.3.在数列{}na中，若12,aa是正整数，且12||,3,4,5,nnnaaan，则称{}na为“绝对差数列”.（1）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（2）若“绝对差数列”{}na中，20213,0aa，数列{}nb满足12nnnnbaaa，1,2,3,n，分别判断当n时，na与nb的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（3）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.4.在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列321)1()1(nnn的逆序数为an，如排列21的逆序数11a，排列321的逆序数63a.（1）求a4、a5，并写出an的表达式；（2）令nnnnnaaaab11，证明32221nbbbnn，n=1,2,….