高中数学新课程创新教学设计案例--二次函数

10二次函数教材分析二次函数是重要的基本函数之一，由于它存在最值，因此，其单调性在实际问题中有广泛的应用，并且它与前面学过的二次方程有密切联系，又是后面学习解一元二次不等式的基础．二次函数在初中学生已学过，主要是定义和解析式，这里，在此基础上，接着学习二次函数的性质与图像，进而使学生对二次函数有一个比较完整的认识．本节先研究特殊的二次函数y＝ax2，（a≠0）的图像与a值的关系，这可通过a在0的附近取值画图观察得到．然后，通过一个实例，如y＝x2＋4x＋6，研讨二次函数的性质与图像．最后，总结出一般性结论．这节内容的重点是二次函数的性质，即顶点坐标、对称轴方程、二次函数的单调性及其图像，难点是用配方法把y＝ax2＋bx＋c的形式转化为y＝a（x－h）2＋k的形式．教学目标1.通过一个例子研究二次函数的图像和性质，得到一般性结论，培养学生归纳、抽象能力．2.掌握二次函数的概念、表达式、图像与性质．会用配方法解决有关问题，能熟练地求二次函数的最值．3.能初步运用二次函数解决一些实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力．任务分析学习这节内容时要先复习一下学生初中学过的二次函数的有关问题．为了得到y＝ax2，（a≠0）的图像与a的关系以及二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质，这里遵循由特例到一般的原则，充分利用图像的直观性，以便学生接受．在这一过程中，应讲明配方法的操作过程．教学设计一、复习引申1.什么是二次函数？2.在同一坐标系中作出下列函数的图像．（1）y＝－3x2．（2）y＝－2x2．（3）y＝－x2．（4）y＝－0.5x2．（5）ｙ＝0.5x2．（6）y＝x2．（7）y＝2x2．（8）y＝3x2．3.学生讨论：函数y＝ax2中系数a的取值与它的图像形状有何关系？4.教师明晰：在a从－3逐渐变化到＋3的过程中，抛物线开口向下并逐渐变大，当a＝0时，y＝0，抛物线变为x轴，然后抛物线开口向上，并逐渐变小．二、问题情境已知二次函数f（x）＝x2＋4x＋6．（1）求它与x轴的交点坐标．（2）问：它有没有最值？若有最大（小）值，最大（小）值是多少？试求出此时对应的自变量ｘ的值．（3）画出它的图像．（4）它的图像有没有对称轴？如果有，位置如何？（5）确定函数的单调区间．1.先让学生独立解答问题1，然后师生共同确定答案（1）令y＝0，即x2＋4x＋6＝０，解得x1＝－6，x2＝－2．∴与ｘ轴交于两点（－6，0），（－2，0）．（2）将原式配方，得f（x）＝x2＋4x＋6＝（x2＋8x＋12）＝（x2＋8x＋16－16＋12）＝（x＋4）2－2．∵对任意x∈R，都有（x＋4）2≥0，∴f（x）≥－2，当且仅当x＝－4时，取“＝”号．∴函数有最小值是－2，记作ymin＝－2，此时x＝－4．（3）以x＝－4为中间值，取x的一些值列表如下：表10-1ｘ…－7－6－5－4－3－2－1…ｙ…0－－2－0…描点，画图．（4）由上表及图像推测：二次函数f（x）的图像存在对称轴，并且对称轴过点（－4，－2），与y轴平行．（5）观察图像知：二次函数f（x）在（－∞，－4］上是减函数，在（－4，＋∞）上是增函数．2.相关问题（1）对称轴与图像（抛物线）的交点叫抛物线的顶点，函数f（x）＝x2＋4x＋6的顶点坐标是（－4，－2）．（2）如果将过点（x1，0）平行于ｙ轴的直线记作x＝x1，则函数f（x）＝x2＋4x＋6的对称轴为x＝－4．（3）把f（x）＝x2＋4x＋6转化为f（x）＝（x＋4）2－2，采用的是“配方法”．（4）思考：怎样证明函数f（x）＝x2＋4x＋6的图像关于直线x＝－4对称？［提示：证明f（－4＋h）＝f（－4－h）］（5）类似地，再对二次函数f（x）＝－x2－4x＋3研讨上面四个方面的问题．三、建立模型对任何二次函数y＝f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）都可以通过配方法化为y＝a（x＋）2＋的形式，并且有如下性质：1.二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）的图像是一条抛物线，对称轴方程为x＝－，顶点坐标是（－，）．2.（1）当a＞0时，抛物线开口向上，函数在（－∞，－］上递减，在［－，＋∞）上递增，当x＝－时，［f（x）］min＝．（2）当a＜0时，抛物线开口向下，函数在（－∞，－］上递增，在［－，＋∞）上递减，当x＝－时，［f（x）］max＝．思考：（1）二次函数的图像一定与x轴或y轴相交吗？（2）函数y＝（x－1）2＋2，x∈［2，3］的最小值是2吗？四、解释应用［例题］1.求函数y＝3x2＋2x＋1的最小值和它的图像的对称轴，并指出它的单调性．注：可利用上面的性质直接写出答案．2.某商品在最近一个月内价格f（t）与时间t的函数关系式是f（t）＝＋22，（0≤t≤30，t∈N），售量g（t）与时间t的函数关系是g（t）＝－，（0≤t≤30，t∈N）．求这种商品的日销售额的最大值．解：设该商品的日销售额为S，则∵t∈N，∴当t＝10或t＝11时，Smax＝808.5．答：这种商品日销额的最大值是808.5．注：本题是应用题，自变量t∈N，不能使．［练习］1.已知函数f（x）＝x2－2x－3，不计算函数值，试比较f（－2）和f（4），f（－3）和f（3）的大小．2.二次函数y＝f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），且方程f（x）＝0有两个实根x1，x2，求x1＋x2．3.已知函数f（x）＝2x2＋（a－1）x＋3在［2，＋∞）上递增，求a的取值范围．4.抛物线y＝ax2＋bx与直线y＝ax＋b，（ab≠0）的图像（如下图）只可能是（）．四、拓展延伸1.如果已知二次函数的图像（抛物线）的顶点坐标为（h，k），那么它的解析表达式如何？如果已知二次函数的图像（抛物线）与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），它的解析表达式又如何？2.用函数单调性的定义研究f（x）＝ax2＋bx＋c，（a＜0）的单调性．3.证明函数f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）的图像关于直线x＝－对称．点评这篇案例讲述了两个方面的知识点，一是特殊的二次函数y＝ax2，（a≠0）的图像随ａ值变化的规律性，二是二次函数的性质与图像．设计恰当，重点突出，即重点讲解二次函数的性质与图像．遵循由特殊到一般、由具体到抽象的原则，使结论便于被学生理解．例题与练习的选配难易适中，代表广泛，并有利于巩固本课重点知识．拓展延伸中提出的三个问题都是二次函数的重要特征，实用性强，并且所得结论对解决有关问题能起到事半功倍的效果．