拉格朗日中值定理课件

拉格朗日中值定理及其应用一、拉格朗日中值定理定理1.设函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；则至少存在一点.)()()(),(abafbffba，使分析与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数使在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由能导出则问题可解决.)(x),(x0)('，)()()(abafbff证令).()()()()()(axabafbfafxfx由于f(x)在[a,b]上连续，因此在[a,b]上连续.)(x)(x由于f(x)在(a,b)内可导，因此在(a,b)内可导.又由于),(0)(ba因此在[a,b]上满足罗尔定理条件，所以至少存在一点，使，即)(x),(ba0)(0,)()()(abafbff从而有)()()(abafbffab12xxoy)(xfyABCDNM几何解释:.,ABCAB线平行于弦在该点处的切一点上至少有在曲线弧如果f(x)在(a,b)内可导，则在以为端点的区间上f(x)也满足拉格朗日中值定理，即),,(),,(00baxxbaxxxx00与因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理.,)()()(00xfxfxxf其中为之间的点.也可以记为xxx00与为10,)()()(000xxxfxfxxf或,10,)(0xxxfy推论1若在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必为某常数.)(xf事实上，对于(a,b)内的任意两点，由拉格朗日中值定理可得21,xx,0))(()()(1212xxfxfxf由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论：位于x1，x2之间，故有f(x1)=f(x2).由x1，x2的任意性可知f(x)在(a,b)内恒为某常数.推论2若在(a,b)内恒有，则有)()(xgxf其中C为某常数.由推论1可知f(x)－g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.f(x)=g(x)+C,事实上，由已知条件及导数运算性质可得.0)()(])()([xgxfxgxf例1函数在区间[－1,3]上满足拉格朗日中值定理的=()..1.D;3.C;0.B;43.A由于在[－1,3]上连续，在(－1,3)内可导，因此f(x拉格朗日中值定理条件.)在[－1,3]上满足12)(2xxxf分析使),3,1(由拉格朗日定理可知，必定存在.)()()(abafbff由于f(b)=f(3)=16,f(a)=f(－1)=4,而.14)(f12)(2xxxf二、拉格朗日中值定理的应用可解得，因此本例应选D.1.3)1(341614.)ln(11xxxx例2当x0时,试证不等式分析1ln)1ln()1ln(xx取f(t)=ln(1+t)，a=0，b=x.则f(t)=ln(1+t)在区间[0,x]上满足拉格朗日中值定理，因此必有一点使得.),0(x.)(')0()(xffxf,11)('11)(')1ln()(fttfttf，，,1]1)1[(111ln)1ln(xxx说明本例中，若令y=lnt，a=1，b=1+x，亦可利用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明不等式时，f(x)与[a,b]的选取不是唯一的.,11111x即.)ln(11xxxx，因此由于x0,11xxxx进而知谢谢大家