高二数学试题及答案

高二数学期中测试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设ab0，则下列不等式一定成立的是()A．a2abb2B．b2aba2C．a2b2abD．abb2a2答案B2．关于数列3,9，…，2187，…，以下结论正确的是()A．此数列不是等差数列，也不是等比数列B．此数列可能是等差数列，也可能是等比数列C．此数列可能是等差数列，但不是等比数列D．此数列不是等差数列，但可能是等比数列解析记a1＝3，a2＝9，…，an＝2187，…若该数列为等差数列，则公差d＝9－3＝6，an＝3＋(n－1)×6＝2187，∴n＝365.∴{an}可为等差数列．若{an}为等比数列，则公比q＝93＝3.an＝3·3n－1＝2187＝37，∴n＝7.∴{an}也可能为等比数列．答案B3．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＝2sin2C，则角C为()A．钝角B．直角C．锐角D．60°解析由sin2A＋sin2B＝2sin2C，得a2＋b2＝2c2.即a2＋b2－c2＝c20，cosC0.答案C4．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为()A．63B．64C．127D．128解析a5＝a1q4＝q4＝16，∴q＝2.∴S7＝1－271－2＝128－1＝127.答案C5．一张报纸，其厚度为a，面积为b，现将此报纸对折7次，这时报纸的厚度和面积分别为()A．8a，b8B．64a，b64C．128a，b128D．256a，b256答案C6．不等式y≤3x＋b所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内，而点(4,4)在此区域内，则b的范围是()A．－8≤b≤－5B．b≤－8或b－5C．－8≤b－5D．b≤－8或b≥－5解析∵43×3＋b，且4≤3×4＋b，∴－8≤b－5.答案C7．已知实数m，n满足不等式组2m＋n≤4，m－n≤2，m＋n≤3，m≥0，则关于x的方程x2－(3m＋2n)x＋6mn＝0的两根之和的最大值和最小值分别是()A．7，－4B．8，－8C．4，－7D．6，－6解析两根之和z＝3m＋2n，画出可行域，当m＝1，n＝2时，zmax＝7；当m＝0，n＝－2时，zmin＝－4.答案A8．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c成等差数列，则ax＋cy的值等于()A.14B.12C．2D．1解析用特殊值法，令a＝b＝c.答案C9．制作一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的(够用、又耗材最少)是()A．4.6mB．4.8mC．5mD．5.2m解析设三角形两直角边长为am，bm，则ab＝2，周长C＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝22＋2≈4.828(m)．答案C10．设{an}是正数等差数列，{bn}是正数等比数列，且a1＝b1，a2n＋1＝b2n＋1,则()A．an＋1bn＋1B．an＋1≥bn＋1C．an＋1bn＋1D．an＋1＝bn＋1解析an＋1＝a1＋a2n＋12≥a1a2n＋1＝b1b2n＋1＝bn＋1.答案B11．下表给出一个“直角三角形数阵”：1412，1434，38，316……满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为aij(i≥j，i，j∈N*)，则a83等于()A.18B.14C.12D．1解析第1列为14，12＝24，34，…，所以第8行第1个数为84，又每一行都成等比数列且公比为12，所以a83＝84×12×12＝12.答案C12．已知变量x，y满足约束条件y＋x－1≤0，y－3x－1≤0，y－x＋1≥0，则z＝2x＋y的最大值为()A．4B．2C．1D．－4解析先作出约束条件满足的平面区域，如图所示．由图可知，当直线y＋2x＝0，经过点(1,0)时，z有最大值，此时z＝2×1＋0＝2.答案B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．共20分．把答案填在题中横线上)13.在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．解析∵B＝45°，C＝60°，∴A＝180°－B－C＝75°.∴最短边为b.由正弦定理，得b＝csinBsinC＝1×sin45°sin60°＝63.答案6314．锐角△ABC中，若B＝2A，则ba的取值范围是__________．解析∵△ABC为锐角三角形，∴0B＝2Aπ2，0π－A－Bπ2，∴0Aπ4，π6Aπ3.∴A∈(π6，π4)．∴ba＝sinBsinA＝2cosA.∴ba∈(2，3)．答案(2，3)15．数列{an}满足a1＝3，an＋1－2an＝0，数列{bn}的通项公式满足关系式an·bn＝(－1)n(n∈N*)，则bn＝________.解析∵a1＝3，an＋1＝2an，∴数列{an}为等比数列，且公比q＝2.∴an＝3·2n－1.又an·bn＝(－1)n.∴bn＝(－1)n·1an＝－1n3·2n－1.答案－1n3·2n－116．不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|－1x2}，那么不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c2ax的解集为________．解析由题意，得a0，－1＋2＝－ba，－1×2＝ca，则b＝－a，c＝－2a，a0.所求不等式可化为x2＋1－(x－1)＋(－2)2x，解得0x3.答案{x|0＜x＜3}三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知全集U＝R，A＝x|－34x2＋x＋10，B＝{x|3x2－4x＋10}，求∁U(A∩B)．解A＝{x|3x2－4x－40}＝x|－23x2，B＝x|x13，或x1.A∩B＝x|－23x13，或1x2，∁U(A∩B)＝{x|x≤－23，或13≤x≤1，或x≥2}．18．(12分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2B＋C2－2cos2A＝7.(1)求角A的大小；(2)若a＝3，b＋c＝3，求b和c的值．解(1)在△ABC中，有B＋C＝π－A，由条件可得4[1－cos(B＋C)]－4cos2A＋2＝7，即(2cosA－1)2＝0，∴cosA＝12.又0Aπ，∴A＝π3.(2)由cosA＝12，得b2＋c2－a22bc＝12，即(b＋c)2－a2＝3bc，则32－(3)2＝3bc，即bc＝2.由b＋c＝3，bc＝2，解得b＝1，c＝2，或b＝2，c＝1.19．(12分)递增等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝an·log12an，求数列{bn}的前n项和．解(1)设等比数列的公比为q(q1)，则有a1q＋a1q2＋a1q3＝28，a1q＋a1q3＝2a1q2＋2，解得a1＝2，q＝2，或a1＝32，q＝12，(舍去)．所以an＝2·2n－1＝2n.(2)bn＝an·log12an＝－n·2n，Sn＝－(1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n)，2Sn＝－(1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1)．两式相减，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝21－2n1－2－n·2n＋1＝－(n－1)·2n＋1－2.20．(12分)配制两种药剂，需要甲、乙两种原料．已知配A种药需要甲料3毫克，乙料5毫克；配B种药需要甲料5毫克、乙料4毫克．今有甲料20毫克，乙料25毫克，若A，B两种药至少各配一剂，问A、B两种药最多能各配几剂？解设A、B两种药分别能配x，y剂，x，y∈N*，则x≥1，y≥1，3x＋5y≤20，5x＋4y≤25，作出可行域，图中阴影部分的整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(4,1)．所以，在保证A，B两种药至少各配一剂的条件下，A种药最多配4剂，B种药最多配3剂．21．(12分)在△ABC中，已知a＋ba＝sinBsinB－sinA，且cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C.(1)试确定△ABC的形状；(2)求a＋cb的范围．解(1)由a＋ba＝sinBsinB－sinA，得a＋ba＝bb－a，即b2－a2＝ab，①又cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C，所以cos(A－B)－cos(A＋B)＝2sin2C.sinA·sinB＝sin2C，则ab＝c2.②由①②知b2－a2＝c2，即b2＝a2＋c2.所以△ABC为直角三角形．(2)在△ABC中，a＋cb，即a＋cb1.又a＋cb＝a2＋c2＋2acb2≤2a2＋c2b2＝2b2b2＝2，故a＋cb的取值范围为(1，2]．22．(12分)设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22＋a23＝a24＋a25，S7＝7.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)试求所有的正整数m，使得amam＋1am＋2为数列{an}中的项．解(1)由题意，设等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，(d≠0)．由a22＋a23＝a24＋a25，知2a1＋5d＝0.①又因为S7＝7，所以a1＋3d＝1.②由①②可得a1＝－5，d＝2.所以数列{an}的通项公式an＝2n－7，Sn＝na1＋an2＝n2－6n.(2)因为amam＋1am＋2＝am＋2－4am＋2－2am＋2＝am＋2－6＋8am＋2为数列{an}中的项，故8am＋2为整数，又由(1)知am＋2为奇数，所以am＋2＝2m－3＝±1，即m＝1,2.当m＝1时，amam＋1am＋2＝－5×－3－1＝－15.显然它不是数列{an}中的项．当m＝2时，am·am＋1am＋3＝－3×－13＝1.它是数列{an}中的项．因此，符合题意的正整数只有m＝2.