17.3一元二次方程的根的判别式教案

17.3一元二次方程的根的判别式教案舜山初中孙静芝一、教学目标（一）知识教学点：1．了解根的判别式的概念．2．能用判别式判别根的情况．（二）能力训练点：1．培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力．2．进一步考察学生思维的全面性．（三）德育渗透点：1．通过了解知识之间的内在联系，培养学生的探索精神．2．进一步渗透转化和分类的思想方法．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：会用判别式判定根的情况．2．教学难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．”3．教学疑点：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在实数范围内，当b2-4ac＜0时，无解．在高中讲复数时，会学习当b2-4ac＜0时，实系数的一元二次方程有两个虚数根．三、教学步骤（一）明确目标在前一节的“公式法”部分已经涉及到了，当b2-4ac≥0时，可以求出两个实数根．那么b2-4ac＜0时，方程根的情况怎样呢？这就是本节课的目标．本节课将进一步研究b2-4ac＞0，b2-4ac＝0，b2-4ac＜0三种情况下的一元二次方程根的情况．（二）整体感知在推导一元二次方程求根公式时，得到b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b2-4ac为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解决许多其它问题．在探索一元二次方程根的情况是由谁决定的过程中，要求学生从中体会转化的思想方法以及分类的思想方法，对学生思维全面性的考察起到了一个积极的渗透作用．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．利用公式法解下列方程．通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用．2．任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将（1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．2221532022542032310xxyyxx（3）当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？答：b2-4ac．3．①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示．②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根．反之亦然．注意以下几个问题：（1）∵a≠0，∴4a2＞0这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况．正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫．在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法．（2）当b2-4ac＜0，说“方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根”比较好．有时，也说“方程无解”．这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根”的意思．4．例1不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；（3）5（x2＋1）-7x＝0．解：（1）∵△＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）原方程可变形为16y2-24y＋9＝0．∵△＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，∴原方程有两个相等的实数根．（3）原方程可变形为5x2-7x+5=0．∵△＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0，∴原方程没有实数根．学生口答，教师板书，引导学生总结步骤，（1）化方程为一般形式，确定a、b、c的值；（2）计算b2-4ac的值；（3）判别根的情况．强调两点：（1）只要能判别△值的符号就行，具体数值不必计算出．（2）判别根的情况，不必求出方程的根．练习．1.不解方程，判别下列方程根的情况：（1）3x2+4x-2=0；（2）2y2+5=6y；（3）4p（p-1）-3＝0；（4）（x-2）2＋2（x-2）-8＝0；学生板演、笔答、评价．第（4）题可去括号，化一般式进行判别，也可设y＝x-2，判别方程y2＋2y-8=0根的情况，由此判别原方程根的情况．2.在一元二次方程若a与c异号，则方程（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.根的情况无法确定例2：已知关于的方程，问取何值时，这个方程：⑴有两个不相等的实数根？⑵有两个相等的实数根？⑶没有实数根？解：中)0(02acbxax230xxkxk234194kk（）教师板书，引导学生回答．此题是含有字母系数的一元二次方程．注意字母的取值范围，从而确定b2-4ac的取值．练习：1.方程有等根时,实数的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)大于22.关于的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围为（）94k＞0方程有两个不相等的实数根k＜94＜94k时，原方程有两个不相等的实数根940k方程有两个相等的实数根94k94k时，原方程有两个相等的实数根94k＜0＞94＞94k时，原方程没有实数根k解得当解得当解得当2xaaxax2(1)20mxmxm3.议一议设△ABC的三边为a,b,c.方程有俩个相等的实数根，且a,b,c满足试判断△ABC的形状。解：由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字母的取值．（四）总结、扩展（1）判别式的意义及一元二次方程根的情况．①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式．用“△”表示②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根．反之亦然．21(2)04xaxbc32bac141(2)0420abcabc原方程有两个相等的实数根322(32)0640550bacaaccaaccacac32baccabc又ABC是等边三角形。（2）通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法．（五）布置作业教材P．36习题17.3~1、2