ARCH、GARCH模型

ARCH模型ARCH模型(Autoregressiveconditionalheteroskedasticitymodel)什么ARCH模型?ARCH模型由美国加州大学圣迭哥分校罗伯特·恩格尔(Engle)教授1982年在《计量经济学》杂志（Econometrica）的一篇论文中首次提出。此后在计量经济领域中得到迅速发展。所谓ARCH模型，按照英文直译是自回归条件异方差模型。粗略地说，该模型将当前一切可利用信息作为条件，并采用某种自回归形式来刻划方差的变异，对于一个时间序列而言，在不同时刻可利用的信息不同，而相应的条件方差也不同，利用ARCH模型，可以刻划出随时间而变异的条件方差。作为一种全新的理论，ARCH模型在近十几年里取得了极为迅速的发展，已被广泛地用于验证金融理论中的规律描述以及金融市场的预测和决策。ARCH模型是获得2003年诺贝尔经济学奖的计量经济学成果之一。被认为是最集中反映了方差变化特点而被广泛应用于金融数据时间序列分析的模型。ARCH模型是过去20年内金融计量学发展中最重大的创新。目前所有的波动率模型中,ARCH类模型无论从理论研究的深度还是从实证运用的广泛性来说都是独一无二的。[编辑]ARCH模型的基本思想ARCH模型的基本思想是指在以前信息集下，某一时刻一个噪声的发生是服从正态分布。该正态分布的均值为零，方差是一个随时间变化的量(即为条件异方差)。并且这个随时间变化的方差是过去有限项噪声值平方的线性组合(即为自回归)。这样就构成了自回归条件异方差模型。由于需要使用到条件方差，我们这里不采用恩格尔的比较严谨的复杂的数学表达式，而是采取下面的表达方式，以便于我们把握模型的精髓。见如下数学表达：Yt=βXt＋εt(1)其中，Yt为被解释变量，Xt为解释变量，εt为误差项。如果误差项的平方服从AR(q)过程，即εt2=a0＋a1εt－12＋a2εt－22＋……＋aqεt－q2＋ηtt=1,2,3……(2)其中，ηt独立同分布，并满足E（ηt）=0,D(ηt)=λ2,则称上述模型是自回归条件异方差模型。简记为ARCH模型。称序列εt服从q阶的ARCH的过程，记作εt－ARCH(q)。为了保证εt2为正值，要求a00,ai≥0i=2,3,4…。上面（1）和（2）式构成的模型被称为回归－ARCH模型。ARCH模型通常对主体模型的随机扰动项进行建模分析。以便充分的提取残差中的信息，使得最终的模型残差ηt成为白噪声序列。从上面的模型中可以看出，由于现在时刻噪声的方差是过去有限项噪声值平方的回归，也就是说噪声的波动具有一定的记忆性，因此，如果在以前时刻噪声的方差变大，那么在此刻噪声的方差往往也跟着变大；如果在以前时刻噪声的方差变小，那么在此刻噪声的方差往往也跟着变小。体现到期货市场，那就是如果前一阶段期货合约价格波动变大，那么在此刻市场价格波动也往往较大，反之亦然。这就是ARCH模型所具有描述波动的集群性的特性，由此也决定它的无条件分布是一个尖峰胖尾的分布。[编辑]ARCH模型在分析中的应用ARCH模型的应用分析。从1982年开始就一直没有间断，经济学家和计量经济学家们，力图通过不断挖掘这个模型的潜力，来不断增强我们解释和预测市场的能力。从国外的研究情况来看，大致有两个研究方向：一是研究ARCH模型的拓展，完善ARCH模型。自ARCH模型始创以来，经历了两次突破。一次是BollerslevT.提出广义ARCH(GeneralizedARCH),即GARCH模型，从此以后，几乎所有的ARCH模型新成果都是在GARCH模型基础上得到的。第二次则是由于长记忆在经济学上的研究取得突破，分整研究被证明更有效地刻画了某些长记忆性经济现象，与ARCH模型相结合所诞生的一系列长记忆ARCH模型的研究从1996年至今方兴未艾。第二个应用是将ARCH模型作为一种度量金融时间序列数据波动性的有效工具，并应用于与波动性有关广泛研究领域。包括政策研究、理论命题检验、季节性分析等方面。ARCH模型能准确地模拟时间序列变量的波动性的变化，它在金融工程学的实证研究中应用广泛，使人们能更加准确地把握风险（波动性），尤其是应用在风险价值（ValueatRisk）理论中，在华尔街是尽人皆知的工具。可以预见，未来的研究将会在方法论和工具论两个方向进一步展开，特别是其应用研究还在不断拓展，特别是伴随着市场微观结构理论的成熟，采用ARCH模型来模拟波动性，将会对期货交易制度设计，风险控制制度设计和投资组合风险管理策略研究，提供一个更为广阔的研究空间。[编辑]ARCH模型的发展波勒斯勒夫（Bollerslev）提出GARCH模型(GeneralizedARCH)；利立安（Lilien）提出ARCH-M模型；罗宾斯（Robbins）提出NARCH模型GARCH模型GARCH模型(GeneralizedAutoRegressiveConditionalHeteroskedasticity)又称“广义ARCH模型（GeneralizedARCH）”、“广义自回归条件异方差模型”GARCH模型概述自从Engle(1982)提出ARCH模型分析时间序列的异方差性以后，波勒斯列夫T.Bollerslev(1986)又提出了GARCH模型，GARCH模型是一个专门针对金融数据所量体订做的回归模型，除去和普通回归模型相同的之处，GARCH对误差的方差进行了进一步的建模。特别适用于波动性的分析和预测，这样的分析对投资者的决策能起到非常重要的指导性作用，其意义很多时候超过了对数值本身的分析和预测。[编辑]GARCH模型的基本原理一般的GARCH模型可以表示为：其中ht为条件方差，ut为独立同分布的随机变量，ht与ut互相独立，ut为标准正态分布。（1）式称为条件均值方程；（3）式称为条件方差方程，说明时间序列条件方差的变化特征。为了适应收益率序列经验分布的尖峰厚尾特征，也可假设服从其他分布，如Bollerslev(1987)假设收益率服从广义t-分布，Nelson(1991)提出的EGARCH模型采用了GED分布等。另外，许多实证研究表明收益率分布不但存在尖峰厚尾特性，而且收益率残差对收益率的影响还存在非对称性。当市场受到负冲击时，股价下跌，收益率的条件方差扩大，导致股价和收益率的波动性更大；反之，股价上升时，波动性减小。股价下跌导致公司的股票价值下降，如果假设公司债务不变，则公司的财务杠杆上升，持有股票的风险提高。因此负冲击对条件方差的这种影响又被称作杠杆效应。由于GARCH模型中，正的和负的冲击对条件方差的影响是对称的，因此GARCH模型不能刻画收益率条件方差波动的非对称性。[编辑]GARCH模型的发展为了衡量收益率波动的非对称性，Glosten、Jagannathan与Runkel（1989）提出了GJR模型，在条件方差方程（3）中加入负冲击的杠杆效应，但仍采用正态分布假设。Nelson(1991)提出了EGARCH模型。Engle等（1993）利用信息反应曲线分析比较了各种模型的杠杆效应，认为GJR模型最好地刻画了收益率的杠杆效应。Glosten、Jagannathan与Runkel（1993）分析比较了各种GARCH-M模型，指出不同的模型设定会导致条件方差对收益率产生正或负的不同影响，[编辑]GARCH模型的缺陷由于GARCH(p,q)模型是ARCH模型的扩展,因此GARCH(p,q)同样具有ARCH(q)模型的特点。但GARCH模型的条件方差不仅是滞后残差平方的线性函数,而且是滞后条件方差的线性函数。GARCH模型适合在计算量不大时,方便地描述了高阶的ARCH过程,因而具有更大的适用性。但GARCH(p,q)模型在应用于资产定价方面存在以下的不足:①GARCH模型不能解释股票收益和收益变化波动之间出现的负相关现象。GARCH(p,q)模型假定条件方差是滞后残差平方的函数,因此,残差的符号不影响波动,即条件方差对正的价格变化和负的价格变化的反应是对称的。然而在经验研究中发现,当利空消息出现时,即预期股票收益会下降时,波动趋向于增大;当利好消息出现时,即预期股票收益会上升时,波动趋向于减小。GARCH(p,q)模型不能解释这种非对称现象。②GARCH(p,q)模型为了保证非负,假定(2)式中所有系数均大于零。这些约束隐含着的任何滞后项增大都会增加因而排除了的随机波动行为,这使得在估计GARCH模型时可能出现震荡现象。[编辑]GARCH模型的分类以及应用[1]单变量GARCH早期的ARCH方程存在一个问题，就是为了保证条件方差总为正值，αi必须三是非负的。但是，当需要用很多期滞后值从而使我们能够比较准确地建立这一过数程的模型时，非负的限制条件可能得不到满足。在早期实践中，人们经常通过设置昙线性减少的系数这种方式来任意确定滞后阶数，以保证αi满足非负的限制条件。Bollerslev(1986)通过在模型中引入条件方差的滞后值对ARCH模型进行了推广，目的是为了避免ARCH(p)[由Engle(1982)提出]中存在的滞后期数太长的问题。因此，广义的ARCH或GARCH(p，g)定义为：条件方差是条件均值方程的残差平方项的p期滞后值和条件方差的q期滞后值的线性组合。其形式如下：(a)这里限定α、β，和r是非负的，这是为了避免出现条件方差为负的可能。这就是GARCH方程。条件方差的当期值是常数项、条件均值方程的残差平方的一些前期滞后值和条件方差的前期值的函数。例如，如果条件方差能用GARCH(1，1)方程较好地刻画出来，则这是因为序列是AR(1)过程，也就是该序列是由残差的一期滞后值以及条件方差的一期滞后值所导致的。为了举例说明GARCH模型的应用，我们使用这种方法预测一个英镑持有者的美元收益率的波动性。条件均值模型是AR(2)模型，回归参数及括号中的f统计量的值如下：rtUS$=α0+α1rt−1+αrt−2+εrtUS$=0.00005+0.01927rt−1−0.0571rt−2(0.285)(0.502)(-1.526)条件方差方程及，统计量如下：(2.062)(3.572)(57.178)结果表明，t时刻的条件方差可由高度显著的条件均值方程的残差平方的一期滞后值和条件方差本身的一期滞后值来解释。指数GARCH：E-GARCH在GARCH(p，g)模型中，条件方差取决于残差值的大小而不取决于残差的符号。但有证据表明，例如Black(1976)指出，资产波动性和资产收益率是负相关的。即当证券价格上涨时，收益率为正，波动性下降；当资产价格下降时，收益率为负，波动性上升。实际上，一些经验表明，波动性较高的那段时期经常与证券市场的下跌紧密相关，而波动性较低的那段时期经常与证券市场的上涨紧密相关。为了描述这种情形，Nelson(1991)提出了E-GARCH。其形式如下：(b)注意，该方程中的ε有两种形式：ε的原始观测值和绝对值形式。这里绝对值只表示\epsilon的大小，也就是不考虑ε的符号。因此，E-GARCH建立了条件方差是ε的不对称函数的模型，它允许正和负的滞后值对波动性存在不同的影响。对数形式允许负的残差，但条件方差本身不能是负的。我们还注意到，条件标准差(ht−i)在方程右边是作为分母的。号我们将E-GARCH模型应用于在GARCH部分用到的美元这个例子。回归参数和相应的，统计量如下：这一结果表明条件均值方程的残差的不对称形式的显著性。它再次强调了GARCH变量的显著性。GARCH．M模型如果金融资产的风险随时间而变化，投资者要求的收益率随时间而变化的假设就是合理的。由于包括风险资产在内的所有资产至少会获取无风险收益率(获取无风险利率的资产的典型代表是短期政府零息债券，例如国库券)，所以风险溢价是适当的建模变量。风险溢价是指风险资产收益率和无风险资产收益率之间的差。Engle等人提出了GARCH—M模型，它将条件均值作为条件方差的函数，也就是作为基础变量的滞后值的白回归函数。在原始ARCH模型基础上推广的GARCH模型形式如下：yt=β+δ