导数的应用——利用导数证明不等式

导数的应用-利用导数证明不等式1、利用导数判断函数的单调性；2、利用导数求函数的极值、最值；引言：导数是研究函数性质的一种重要工具．例如：求函数的单调区间、求函数的最大（小）值、求函数的值域等等．然而，不等式是历年高考重点考查的内容之一.尤其是在解答题中对其的考查，更是学生感到比较棘手的一个题.因而在解决一些不等式问题时，如能根据不等式的特点，恰当地构造函数，运用导数证明或判断该函数的单调性,出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题．然后用函数单调性去解决不等式的一些相关问题，可使问题迎刃而解.因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题．下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用．三、例题分析1、利用导数得出函数单调性来证明不等式例1：当x0时,求证：x2x2＜ln(1+x).证明：设f(x)=x2x2－ln(1+x)(x0),则f'(x)=2x1x．∵x0,∴f'(x)0,故f(x)在（0，+∞）上递减，所以x0时,f(x)f(0)=0，即x2x2－ln(1+x)0成立．小结：把不等式变形后构造函数，然后用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的．随堂练习：课本P32：B组第一题第3小题2、利用导数解决不等式恒成立问题（掌握恒成立与最值的转化技巧；构造函数证明不等式）例２．已知函数21()2xfxaex(1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围;(2)若a=1,求证:x＞0时,f(x)1+x解：(1)f′(x)＝aex－ｘ，∵ｆ（ｘ）在Ｒ上为增函数，∴f′(x)≥０对ｘ∈Ｒ恒成立，即ａ≥ｘｅ-ｘ对ｘ∈Ｒ恒成立记ｇ（ｘ）＝ｘｅ-ｘ，则ｇ′(ｘ)＝ｅ-ｘ－ｘｅ-ｘ=(1-x)e-x，当ｘ＞１时，ｇ′（ｘ）＜０，当ｘ＜１时，ｇ′（ｘ）＞０．知ｇ（ｘ）在(-∞,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数,∴g(x)在x=1时,取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e,∴a≥1/e,即a的取值范围是[1/e,+∞)(2)记F(X)=f(x)－(1+x)=)0(1212xxxex则F′(x)=ex-1-x,令h(x)=F′(x)=ex-1-x,则h′(x)=ex-1当x0时,h′(x)0,∴h(x)在(0,+∞)上为增函数,又h(x)在x=0处连续,∴h(x)h(0)=0即F′(x)0,∴F(x)在(0,+∞)上为增函数,又F(x)在x=0处连续,∴F(x)F(0)=0,即f(x)1+x．小结：当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题．不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为)(xfm(或)(xfm)恒成立，于是m大于)(xf的最大值（或m小于)(xf的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法．例3．（全国）已知函数xxxgxxxfln)(,)1ln()((1)求函数)(xf的最大值；(2)设ba0,证明：2ln)()2(2)()(0abbagbgag.分析：对于（II）绝大部分的学生都会望而生畏.学生的盲点也主要就在对所给函数用不上.如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的.证明如下：证明：对xxxgln)(求导,则1ln)('xxg.在)2(2)()(bagbgag中以b为主变元构造函数,设)2(2)()()(xagxgagxF,则2lnln)]2([2)()('''xaxxagxgxF.当ax0时，0)('xF,因此)(xF在),0(a内为减函数.当ax时,0)('xF,因此)(xF在),(a上为增函数.从而当ax时,)(xF有极小值)(aF.因为,,0)(abaF所以0)(bF,即.0)2(2)()(bagbgag又设2ln)()()(axxFxG.则)ln(ln2ln2lnln)('xaxxaxxG.当0x时,0)('xG.因此)(xG在),0(上为减函数.因为,,0)(abaG所以0)(bG,即2ln)()2(2)()(abbagbgag.综上结论得证。对于看起来无法下手的一个不等式证明，对其巧妙地构造函数后，运用导数研究了它的单调性后，通过利用函数的单调性比较函数值的大小,使得问题得以简单解决.四、课堂小结1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式；总之，无论是证明不等式，还是解不等式，我们都可以构造恰当的函数，利用到函数的单调性或最值，借助导数工具来解决，这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现．五、思维拓展（2008联考）已知函数)0(1)(xxexfx，)0(2)(2xeaxxgx；（1）求证：当1a时对于任意正实数x,)(xf的图象总不会在)(xg图象的上方；（2）对于在（0，1）上任意的a值，问是否存在正实数x使得)()(xgxf成立？如果存在，求出符合条件的x的一个取值；否则说明理由。