等比数列及其前n项和(一轮复习)

[备考方向要明了]1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3.能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4.了解等比数列与指数函数的关系.考什么1.以客观题的形式考查等比数列的性质及其基本量的计算，如2012年新课标全国T5，浙江T13等．2.以解答题的形式考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及性质的综合应用，如2012年湖北T18等.怎么考[归纳·知识整合]1．等比数列的相关概念相关名词等比数列{an}的有关概念及公式定义an＋1an＝q(q是常数且q≠0，n∈N*)或anan－1＝q(q是常数且q≠0，n∈N*且n≥2)通项公式an＝＝am·qn－m前n项和公式Sn＝____q＝1a11－qn1－q＝a1－anq1－qq≠1等比中项设a，b为任意两个同号的实数，则a，b的等比中项G＝a1qn－1na1±ab[探究]1.b2＝ac是a，b，c成等比数列的什么条件？提示：b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件，因为当b＝0时，a，c至少有一个为零时，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比数列；若a，b，c成等比数列，则必有b2＝ac.2．如何理解等比数列{an}与指数函数的关系？提示：等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1可改写为an＝a1q·qn.当q0，且q≠1时，y＝qx是一个指数函数，而y＝a1q·qx是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{an}的图象是函数y＝a1q·qx的图象上的一群孤立的点．2．等比数列的性质(1)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q则＝.特别地，若m＋n＝2p，则.(2)若等比数列前n项和为Sn则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－Sm)2＝(m∈N*，公比q≠－1)．(3)数列{an}是等比数列，则数列{pan}(p≠0，p是常数)也是等比数列．(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.am·anam·an＝aSm(S3m－S2m)ap·aq2p[自测·牛刀小试]答案：D1．在等比数列{an}中，如果公比q1，那么等比数列{an}是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．无法确定数列的增减性解析：当a10,0q1，数列{an}为递减数列，当q0，数列{an}为摆动数列．2．(教材习题改编)等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝()A．12B．10C．8D．2＋log35解析：∵数列{an}为等比数列，∴a5a6＝a4a7＝9，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·…·a10)＝log3(a5a6)5＝5log3a5a6＝5log39＝10.答案：B3．(教材习题改编)在等比数列{an}中，若a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝________.解析：∵a5－a1＝15，a4－a2＝6，∴a1q4－1＝15，a1q3－q＝6.∴q2－1≠0，q4－1q3－q＝52.∴2q2－5q＋2＝0，解得q＝12或q＝2.当q＝2时，a1＝1，∴a3＝a1q2＝4.当q＝12时，a1＝－16，∴a3＝a1q2＝－4.答案：4或－44．在等比数列{an}中，an0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5的值为________．解析：由等比数列性质，已知转化为a＋2a3a5＋a＝25，即(a3＋a5)2＝25，又an0，故a3＋a5＝5.答案：55．在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别是________．解析：设等比数列的公比为q，则4＝q4.即q＝±2.当q＝2时，插入的三个数是2，2,22.当q＝－2时，插入的三个数是－2，2，－22.答案：2，2,22或－2，2，－22等比数列的基本运算[例1](1)(2012·新课标全国卷)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝()A．7B．5C．－5D．－7(2)(2012·辽宁高考)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝____.(3)(2012·浙江高考)设公比为q(q＞0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.25[自主解答](1)设数列{an}的公比为q，由a4＋a7＝2，a5·a6＝a4·a7＝－8，得a4＝4，a7＝－2，或a4＝－2，a7＝4，所以a1＝－8，q3＝－12，或a1＝1，q3＝－2，所以a1＝－8，a10＝1，或a1＝1，a10＝－8，所以a1＋a10＝－7.(2)∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2an·q2＝5an·q，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝12(舍去)．又∵a25＝a10＝a5·q5，∴a5＝q5＝25＝32.∴32＝a1·q4，解得a1＝2.∴an＝2×2n－1＝2n，故an＝2n.(3)由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2作差可得a3＋a4＝3a4－3a2，即2a4－a3－3a2＝0，所以2q2－q－3＝0，解得q＝32或q＝－1(舍去)．[答案](1)D(2)2n(3)32———————————————————————————————————————————等比数列运算的通法与等差数列一样，求等比数列的基本量也常运用方程的思想和方法．从方程的观点看等比数列的通项公式an＝a1·qn－1(a1q≠0)及前n项和公式Sn＝na1，q＝1，a11－qn1－q，q≠1中共有五个变量，已知其中的三个变量，可以通过构造方程或方程组求另外两个变量，在求公比q时，要注意应用q≠0验证求得的结果.1．(1)(2013·海淀模拟)在等数列{an}中，a1＝8，a4＝a3a5，则a7＝()A.116B.18C.14D.12(2)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝()A.152B.314C.334D.172(2)显然公比q≠1，由题意得a1q·a1q3＝1，a11－q31－q＝7，解得a1＝4，q＝12，或a1＝9，q＝－13，(舍去)故S5＝a11－q51－q＝41－1251－12＝314.答案：(1)B(2)B解析：(1)在等比数列{an}中，a24＝a3a5，又a4＝a3a5，所以a4＝1，故q＝12，所以a7＝18.等比数列的判定与证明[例2]设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列；(2)在(1)的条件下证明an2n是等差数列，并求an.[自主解答](1)证明：∵由a1＝1，及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.由Sn＋1＝4an＋2，①知当n≥2时，有Sn＝4an－1＋2，②①－②得an＋1＝4an－4an－1，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)．又∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1.∴{bn}是首项b1＝3，公比q＝2的等比数列．(2)由(1)可得bn＝an＋1－2an＝3×2n－1，∴an＋12n＋1－an2n＝34.∴数列an2n是首项为12，公差为34的等差数列．∴an2n＝12＋(n－1)34＝34n－14.an＝(3n－1)×2n－2.—————————————————(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数，n∈N*)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．等比数列的判定方法(2)等比中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列.注意：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于填空题中的判定.2．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列Sn＋54是等比数列．解：(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．故{bn}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1×22，(2)证明：由(1)得数列{bn}的前n项和Sn＝541－2n1－2＝5×2n－2－54，即Sn＋54＝5×2n－2.所以S1＋54＝52，Sn＋1＋54Sn＋54＝5×2n－15×2n－2＝2.因此Sn＋54是以52为首项，以2为公比的等比数列．即5＝b1×22，解得b1＝54.所以{bn}是以54为首项，以2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝54×2n－1＝5×2n－3.等比数列的性质及应用[例3](1)在等比数列{an}中，若a1·a2·a3·a4＝1，a13·a14·a15·a16＝8，则a41·a42·a43·a44＝________.(2)已知数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，n∈N*，若a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝6，则S12＝________.[自主解答](1)法一：a1·a2·a3·a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝a41·q6＝1，①a13·a14·a15·a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a41·q54＝8，②由②÷①，得a41·q54a41·q6＝q48＝8⇒q16＝2，又a41·a42·a43·a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43＝a41·q166＝a41·q6·q160＝(a41·q6)·(q16)10＝1·210＝1024.法二：由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为q，T1＝a1·a2·a3·a4＝1，T4＝a13·a14·a15·a16＝8，∴T4＝T1·q3＝1·q3＝8，即q＝2.∴T11＝a41·a42·a43·a44＝T1·q10＝210＝1024.(2)法一：设等比数列{an}的公比为q，则a4＋a5＋a6a1＋a2＋a3＝a1·q3＋a2·q3＋a3·q3a1＋a2＋a3＝q3＝63，即q3＝2.故S12＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋(a7＋a8＋a9)＋(a10＋a11＋a12)＝(a1＋a2＋a3)＋(a1·q3＋a2·q3＋a3·q3)＋(a1·q6＋a2·q6＋a3·q6)＋(a1·q9＋a2·q9＋a3·q9)＝(a1＋a2＋a3)＋(a1＋a2＋a3)q3＋(a1＋a2＋a3)q6＋(a1＋a2＋a3)q9＝(a1＋a2＋a3)(1＋q3＋q6＋q9)＝3×(1＋2＋22＋23)＝45.法二：设等比数列{an}的公比为q，则a4＋a5＋a6a1＋a2＋a3＝q3＝63，即q3＝2.因为S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝9，S12－S6＝a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12，所以S12－S6S6＝a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝a1·q6＋a2·q6＋a3·q6＋a4·q6＋a5·q6＋a