数与代数的整体分析(2017年8月1)

数与代数领域教学讨论北京市西城区教育研修学院刘克臣BEAConfidential.|2理论行走在中间的我们结合点介绍我自己：从一线走出的学科教研员BEAConfidential.|3数与代数算术代数数的概念数的运算数量的估计字母表示数方程函数BEAConfidential.|4核心素养下的核心BEAConfidential.|5数与代数学习内容的主线：从数及数的运算到代数式及其运算，再到方程、函数。本质上从两个角度理解：第一：从数的扩充角度，从常量到变量；第二：从关系的角度，从数量关系到等量、不等、变化关系。BEAConfidential.|6数BEAConfidential.|7一、数的概念—从量到数的抽象自然数形成包括两个方面，一是与生活密切相关的数字（0—9）的形成；二是计数单位（十、百、千等）的建立。2020/4/113a2020/4/11亚里士多德把握共相、明晰异相，把所研究的对象从诸多事物中分离出来，进行命名，这就是对研究对象进行抽象的基本思维过程。2020/4/11卡西尔（德国哲学家、文化哲学创始人）不涉及本质特征基于对应基于内涵2020/4/11第一阶段，简约阶段：把握事物关于数量或者图形的本质，把繁杂问题简单化，给予清晰表达。第二阶段，符号阶段：去掉具体内容，利用符号或关系术语，表述已经简约化的事物。第三阶段，普适阶段：通过假设或推理，建立法则、模式和模型，在一般意义上描述一类事物的特征或规律。2020/4/11当俄底修斯刺瞎独眼巨人并离开克罗普斯国后，那个不幸的老人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨母羊外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子中捡起一颗石子。晚上母羊返回山洞时，每进去一只，他就扔掉一颗石子。当他把早晨捡起的石子都扔光时，他就确信所有的母羊返回了山洞。2020/4/11桥梁作用2020/4/11一年级1-5的认识一年级6-10的认识看教材二、数的表示——数位与计数法(1)多位数的表示（2）计数法的含义及刻画方式计数法主要是指提取与刻画事物数量信息的方法。一般情况下，一种计数法应该包含提取数量信息的法则（俗称：二进制、十进制等），以及分别用语言与符号刻画数量信息的法则（俗称：读法与写法）。“十进制计数法”提取数量信息的法则是“满十进一，四位一级”；用语言刻画数量信息的法则是“从高位读起，四位一级，每级按照个级的方法，在级尾给出级名，级首有零一定唱、级中有零一个算，级尾有零全不管”（不同的母语读数方法是不一样，英语采用三位一级）；用符号刻画数量信息的法则是“哪个数位上有几个计数单位就写‘几’，一个计数单位也没有就写‘0’”。在我国自然数的符号刻画方式有两种：一是位值原则计数法。即利用数位表进行计数，一个数字不仅有本身的值还有位置的值；二是科学计数法。将“位置值与自身值”以捆绑的形式来刻画数量信息，即写成不同的计数单位的数的和的形式，如：98765432=9×107+8×106+7×105+6×104+5×103+4×102+3×101+2×100三、数的扩充分数是怎么产生的？2÷3=？为什么有了分数还要有小数？十进制计数法扩展完善的需要；分数书写形式的优化改进。沟通联系把握核心培养数感沟通知识的前后联系沟通知识的内在联系把握四个核心概念渗透三个核心思想关注六个有效举措数的认识的教学关注点：第一，沟通联系——沟通知识的前后联系一上：10以内数的认识（逐一计数）一上：11~20各数的认识（按群计数）一下：100以内数的认识二下：万以内数的认识四上：大数的认识（数级）三上：分数的初步认识三下：小数的初步认识四下：小数的意义和性质五下：分数的意义和性质六上：百分数的意义向微观数域拓展六下：负数的认识数概念的形成是外延多次扩张的过程。第一，沟通联系——沟通知识的内在联系数的意义（意义、数位、计数单位、数数、组成）读数、写数数的大小比较数的估计数的改写（一）沟通整数和小数的关系整数与小数的计数方法是一致的，是十进制计数法，相邻两个计数单位间的进率都是10。（二）沟通分数和小数的关系理解小数是十进分数。（三）沟通分数、整数、小数之间的关系都是按照一个单位进行数数的，无论是整数、小数、分数，都是计数单位的累加。第一、沟通联系——沟通知识的内在联系第二，把握核心——把握四个核心概念数的认识数位计数单位十进制位值制数的数学意义实质是计数单位及其个数的累加。十八世纪著名数学家拉普拉斯曾对“位值制”有过这样的评价：“用十个记号表示所有的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值…这是一个深远而有意义的思想。”位值制：同一数字在不同位置表示不同的计数单位的个数。马克思在他的《数学手稿》一书中称十进位值制记数法为“最妙的发明之一”。11424课标新增：理解各数位上的数字表示的意义。在数的读写、大小比较中都有计数单位的影子，只是不如在数的组成时外显。读数是按照一定的规则把计数单位及其个数读出来。写数是把计数单位隐藏起来，按照约定的规则从左到右数位依次降低记下计数单位的个数。数的大小比较，则比的是计数单位和计数单位的个数。计数单位39158＜40000仅仅是3＜4吗？958＜1000仅仅是三位数小于四位数吗？第二，把握核心——把握四个核心概念计数单位4个格＜6个格1104个＜6个1100.40.64个0.1＜6个0.1比较的都是相同计数单位的个数。第二，把握核心——把握四个核心概念第二，把握核心——渗透三个核心思想数的认识数形结合对应思想位值思想抽象第二，把握核心——渗透三个核心思想数形结合、对应思想424第二，把握核心——渗透三个核心思想位值思想第三，培养数感的有效举措（一）引导学生亲身经历数概念的形成过程实物——直观模型——数（抽象）十位个位12第三，培养数感的有效举措（二）呈现数的多种表征模型，帮助学生理解数的意义表征模型主要有：实物示意模型、小棒模型、正方体模型、计数器模型、人民币模型、点子图模型等。()()()()()个十百千（三）注重把握核心概念理解数的意义（四）注重借助动手操作理解数的意义（圈、拨、画、折等）第三，培养数感的有效举措（五）注重估数教学，发展学生的数感（六）关注数的来龙去脉，丰富学生对数的认知数的产生、发展史（因需而生）数在生活中的应用口算：１÷７＝学过了分数和除法的关系怎么会这样？话题讨论：“小数习惯了，分数还不习惯”“对呀，忘了！”“1/7不是表示把单位1平均分成7份，表示这样一份吗？能当结果吗？”访谈：对于分数的认识有哪些维度？（1）比的意义：指部分与整体的关系和两个量之间的（比的）关系。从数量比到份数比小红有5个苹果，小丽有3个苹果，小红的苹果是小丽的三分之五。从部分与整体到两个量的关系我们要：整体把握，抓本质请用分数表示阴影部分只有抓住这些难点，整体设计，才能真正触碰学生的思维痛点。•测量：可以将分数理解为分数单位累积的结果（即按照一定测量单位所测得的量）。（3）运算：将对分数的认识转化为一个运算的过程。（4）商：指分数转化为除法之后运算的结果。对于分数的认识由“过程”凝聚到“对象”，即分数也是一个数，也可以和其它数一样进行运算。为什学生选A：BEAConfidential.|40数的运算2020/4/11例如：加法一年级第一次学习加法教材基于内涵定义加法2020/4/11基于内涵定义加法？意大利数学家•基于内涵定义了自然数：先有1，1的后继为2，2比1大1，表示为2=1+1。•定义自然数的同时定义了加法即“+1”的运算，加法是“+1”运算的复合。•抽象数三条法则：封闭性、交换律、结合律。2020/4/11这样的设计基于皮亚诺的“+1”内涵定义—记住！教材都是基于该思路设计：2020/4/11很多学者对于基于内涵的加法定义提出了不满：只有经验才能告诉我们算术的加法可以用在哪里，比如一个雨滴加另一个雨滴并不能得到两个雨滴…你把一头狮子和一只兔子关在一个笼子里，最后笼子里绝不会是两个动物。—《算与量》德国物理学家、生理学家在数学教学过程中，除了这种完全基于定义的而加法运算之外，还应当让学生感悟加法的现实意义，这个意义和本质都体现在对应的方法之中。2020/4/11史宁中校长给出了这样的建议：问：哪边的气球多？问：哪边的球多？3+1=4揭示“=”的本质含义：符号两边讲述的是两个故事，符合表示这两个故事中的数量相等。关于精算和估算运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。——《小学数学课程标准（修订稿）》算理？算法？324+324=（300+20+4）+（300+20+4）=（300+300）+（20+20）+（4+4）=600+40+8=6480.3×0.2=（3×0.1）×（2×0.1）=（3×2）×（0.1×0.1）=6×0.01=0.06如何帮助学生理解算理？《小数加减法》—执教北京小学于萍0.8+3.74=？《小数加减法》0.8+3.74=0.8+3.744.544.54生：整数的末位是个位，末位对齐也就是个位对齐了。而小数的末位不一定是相同的，所以不能末位对齐。把小数点对齐，也就是相同数位对齐。如果不把小数点对齐，而把末位对齐的话，十分位的8就和百分位的4对齐了，相加之后肯定就不对了。元角分小数点对齐相同数位对齐计数单位应如何面对学生的错误？•深入了解学生计算现状，准确分析错误原因。马虎？原因？25×3=95？应如何面对学生的错误？•帮助学生自己反思错误的原因。？•选择合适的训练方法，帮助学生减少错误。能搭配多少种不同的速度？2×6=12（种）不要把学生的“错误”变成老师的错误：课堂上发生了什么？生1：我进行了一一的搭配，找到可以组合成12种不同的速度。生2：我有更简单的方法。可以直接利用学习过的乘法原理来解决，2×6=12，可以组合成12种不同的速度。师：利用不同的方法，找到了组合速度的数量。生3：老师我觉得好像不对。师：你觉得是多少种？生：我也不知道，但是我觉得这里面有重复的。请大家思考，到底有没有重复的？教材也是这样：课后的对话：“你能再说说你的想法吗？”“只要前后轮齿数的比相同速度也应该是相同的！”48:24=40:20这位孩子的想法有道理吗？到底是谁错了？算法多样化问题的探讨算法多样化的价值•培养学生的创新精神，潜能得到充分地发展。•有利于学生之间的交流，使学习资源能够共享。•算法多样化有利于老师对学生的个性地了解，从而施行因材施教。班中组织联欢会，布置教室需要做彩带。如果把现有的米长的彩条，平均截成2段，每段长多少米？《分数除以整数》案例分享（片段1）：生2：我的方法和生1的一样，不过我是用算式写的：÷2==（米）。454÷2525生3：×=（米）451225生4：0.8÷2=0.4（米）生1：我是将这条纸条对折再对折，然后打开这样就可以看出有4个米，它的一半就是两份，就是米。25《分数除以整数》案例分享（片段2）：÷3=45生1：我是这么想的，纸条分三份不方便我就画了一个图。4513415生2：他的方法看起来很明白，就是画图比较麻烦。我是这么做的：×=就是求米的是多少？4513生3：要用4÷3，我没法做了。生4：把分子和分母都扩大3倍，再除以3就行了！生5：可以利用商不变的性质：（×5）÷（3×5）=4÷15=45415适当横向比较：•横向比较的目的不是拿来就用，是为我们提供新的视角！•怎么看待这么多种处理方法？•1)一个数除以分数的算法是多角度的。•2）彼此很难区分优劣，因此允许学生理解属于自己的方法。•3）此内容的教学设计必然要体现开放的特点。《分数除以整数》带给我们的启示•学生的想法体现了学生思维的灵活性。•激发学生不断交流、不断反思计算方法。第一，鼓励学生的独立思考，主动探索出计算的方法。第二，鼓励学生在独立思考的基础上进行交流。第三，老师要善于比较不同方法的特点，挖掘不同算法的思维价值。第四，教师要善于引导学生分析比较，在学生的质疑、辨析中促进学生对自己方法的反思和提升。•数量估计•测量估计•计算估计（估算）估计（1）在日常生活中有着广泛的应用。（2）为判断计算器、口