大学物理实验--数据处理与误差分析

大学物理实验大学物理实验绪论绪论数据处理与误差分析绪论绪论绪论物理实验的地位和作用1物理实验的地位和作用1物理学是一门实验科学物理学是门实验科学经典物理学：从实验事实中总结出来近代物理学从实验事实与经典物理学的矛盾近代物理学：从实验事实与经典物理学的矛盾中发展出来其他技术科学：很多从物理学分支中独立出去以实验事实为基础——建立、验证、发展绪论物理实验的目的和内容2物理实验的目的和内容2学习实验知识学习实验知识培养实验能力培养实验能力提高实验素养测量各物理量具体数值测量各物理量具体数值研究各个物理量之间的函数关系研究各个物函数关系学习并熟练掌握各种常用的实验仪器绪论实验地点物理实验中心教学东楼实物理实验中心教学东楼教学北楼绪论特别说特别说明：两个设计性实验：元件判别、电表改装占用连续两周同一时段占用连续两周同时段学时计算=两个其他实验仿真实验：最好只做一个旷课处理旷课超过两次不及格旷课处理：旷课超过两次，不及格——提前一天以上取消预约实验前用假条请假——实验前用假条请假绪论成绩定成绩评定：1、不进行考试2、每个实验的成绩评定因素2、每个实验的成绩评定因素(1)预习报告律定(2)纪律评定(3)实验操作(4)实验报告3总成绩为全部单个实验成绩加权平均3、总成绩为全部单个实验成绩加权平均绪论进实验室前的准备4教材进实验室前的准备4教材预习报告——统一印制预习报告统印制完成项目：——实验目的实验目的——实验原理作业或上次的实验报告有效证件绪论在实验室的基本要求5每个实验室的注意事项在实验室的基本要求5做实验的原则——签到——签到——多动手——不准抄袭实验后的数据教师检查签字认可——教师检查、签字认可回去完成实验报告回去完成实验报告——数据处理、误差分析思考题——思考题数据处理与误差分析数据处理与误差分析数据处理与误差分析测量与误差1测量与误差1随机误差2随机误差2随机误差的估算3误差传递4有效数字5实验结果的正确表述6作图法作图法7测量与误差1数据处理与误差分析测量与误差1A误差的定义A误差的定义真值μ不可知测量值x不可知误差Δx=x-μ名词“误差”的第种意义不确定度——名词“误差”的第一种意义不确定度U：(x-U,x+U)——名词“误差”的第二种意义日常生活所用——日常生活所用数据处理与误差分析误差的表述B误差的表述——误差的第二种意义绝对误差U绝对误差U与使用的仪器相关与使用的仪器相关U100%Ux×相对误差表征测量结果的好坏数据处理与误差分析误差的分类C误差的分类——误差的第一种意义„系统误差来源：实验仪器、测量方法、特定环境……特点：不变，或按一定规律变化——可消除如何消除？——无统一的方法数据处理与误差分析„随机误差来源：大量的、微小的、不相关的因素物理量本质上的随机性特点特点：随机变化、不可消除不满足确定的函数关系——随机变量——统计规律随机误差2数据处理与误差分析随机误差2随机误差——随机变量由大量、微小、不相关的因素影响的随机变量由大量、微小、不相关的因素影响的随机变量统计分布——高斯分布（正态分布）其他类型的随机变量其他类型的随机变量——其他分布数据处理与误差分析A如何得到分布A如何得到分布测量列12,,,NxxxN→∞近真值1ixxN=∑→μ偏差ΔiiNxxx=−→误差大量的测量值得到大量的Δx大量的测量值，得到大量的Δxi——作出分布图数据处理与误差分析nn→ΔxΔxN→∞，则可得到连续曲线数据处理与误差分析B正态分布B正态分布2221()2xfxeσ−=2πσSSx:误差xx+Δxx误差x+Δx的概率=Sf：概率密度数据处理与误差分析C随机误差的性质误差越小出现的概率越大单峰误差越小出现的概率越大单峰正负误差出现的概率相同对称大误差出现的概率急剧减小有界数据处理与误差分析D标准误差参数σ：拐点D标准误差误差的概率0683-σσ-σ误差σ的概率=0.683——确定值σ——区别不同的随机误差的参数数据处理与误差分析-σ误差σ的概率=0.683x-σμx+σ-σx-μσμx-σ,x+σ)μ——概率为0.683测量值x；测量结果说明：测量值x；用某种方式得到σ；测量结果说明：μ(x-σ,x+σ)的概率为0.683σ：标准误差数据处理与误差分析E标准误差的特点如果取不同的参量做误差——E标准误差的特点区间大，误差大  概率大，可靠性高区间小，误差小   概率小，可靠性低概率大可靠性高如何平衡？如何平衡？标准误差：0.683通用的标准——通用的标准3σ：0.997→极限误差3σ：0.997极限误差随机误差的估算3数据处理与误差分析随机误差的估算3如何得到标准误差σ？——通过有限次测量A多次测量12,,,Nxxx12,,,1NixxxxxN=∑ΔiiNxxx=−∑2(Δ)1ixxN=∑σ→σ的数学期望值：最佳估计1N−N-1的由来：Δxi由xi-获得x若取Δx=x-μ，则式中为N数据处理与误差分析等精度测量——所有xi等价对于每个测量值其误差均为所以对于每个测量值xi，其误差均为σx，所以(+)的概率含量是683%μ(xi-σx,xi+σx)的概率含量是68.3%N个xi，故可得到N个区间(xi-σx,xi+σx)根据测量结果，最后给出的应该是平均值近真值——近真值数据处理与误差分析„均值标准差„均值标准差x测量结果的最佳值：2()ixΔx∑σσ(1)xxNNN==−∑σ,xxσ测量结果报告为：真值区间为概率含量仍为%(,)xxxx−+σσ概率含量仍为68.3%——平均值是比任一个xi更好的结果数据处理与误差分析B单次测量B单次测量只需或只能进行一次测量的情况„最大误差的概念1.标尺：最小分格的一半最大误的概念标尺最小分格的半2.游标尺：游标精度3.天平：感量5电学仪表4.步进式仪表：一个字5.电学仪表数据处理与误差分析单次测量的标准误差：最大误差单次测量的标准误差：=3xσ最大误差假定误差在“最大误差为a”的区间内平均分布12f(x)2221()2axxxfxdxa==∫σa-a2ax3221=aaaxa−=„多次测量多少次才能应用公式？233aa−„多次测量，多少次才能应用公式？550次5~50次误差传递4数据处理与误差分析误差传递4间接测量的误差A误差传递公式一元函数：()AAxdA=dAdAdxdx=多元函数偏导数全微分多元函数→偏导数全微分(,,)AAxyz=AAAdAdxdydzxyz∂∂∂=++∂∂∂xy∂∂∂数据处理与误差分析微分的意义小量微分的意义：小量误差代入AAAΔAΔxΔyΔz∂∂∂=++误差代入——ΔAΔxΔyΔzxyz=++∂∂∂AxyzAAAxyz∂∂∂=++∂∂∂σσσσ？标准误差的意义——不确定度xyz∂∂∂222AAA⎛⎞∂∂∂⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟Axyzxyz⎛⎞⎛⎞=++⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠σσσσ方差合成——方差合成数据处理与误差分析B误差传递公式的应用„A=x+yB误差传递公式的应用22AxyAA⎛⎞∂∂⎛⎞=+⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠σσσ22=+xyσσz对于A=x-y，结果与上式一样Axyxy⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠xyz均值标准差的公式z对于Axy，结果与上式样ixxN=∑21ixxN⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑σσ21xxNN⎛⎞==⎜⎟⎝⎠σσixxN⎜⎟⎝⎠∑xNN⎜⎟⎝⎠数据处理与误差分析„A=xy22⎛⎞22AxyAAxy⎛⎞∂∂⎛⎞=+⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠σσσ()()22=+xyyxσσ⎝⎠22A⎛⎞⎛⎞σσσ+yxAAxy⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠σσσz对于A=x/y，结果与上式一样22+yxAAxy⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠σσσAxy⎝⎠⎝⎠数据处理与误差分析„一个实用公式其中，l,m,n是实数lmnAcxyz=222⎛⎞⎛⎞⎛⎞222+yxAzlmnAxyz⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠σσσσ幂次越高，对误差的影响越大有效数字5数据处理与误差分析有效数字5A有效数字的定义有效数字是一个工程概念起A有效数字的定义它总是和测量、误差联系在一起的有效数字有效数字=数据的准确位数+1位不准确但有根据的数字数据处理与误差分析„有效数字的最后一位误差所在位——标志着绝对误差的大小误差所在位标志着绝对误差的大小31.3cm，→σx≈0.3，x31.30cm，→σx≈0.03x——小数最后面的0，不能随便增减代表着误差产生的位置数据处理与误差分析„有效数字的长度标志着相对误差的大小313mmσ≈03E≈1%标志着相对误差的大小31.30mm，σx≈0.03，Ex≈0.1%31.3mm，σx≈0.3，Ex≈1%一般说来3位有效数字1%3位有效数字——1%4位有效数字——0.1%5位有效数字001%5位有效数字——0.01%2位有效数字——百分之几到10%……数据处理与误差分析„科学记数法有效数字的长度与其相对误差相关，不会因单位的改变而改变313000313031.30mm=0.03130m=31300μm3.310×10mm=3.310×10-2m=3.310×104μm整数部分保留位其余写入小数整数部分保留一位，其余写入小数数量级用10的幂次表示数据处理与误差分析B有效数字的运算„加减法B有效数字的运算„加减法313+2583=3388331.3+2.58333.883=33.9原则：小数点对齐有效数字取到靠前的误差位有效数字取到靠前的误差位大误差掩盖了小误差！大误差掩盖了小误差！数据处理与误差分析„乘除法„乘除法31.30×2.3=72×2.32.393906260626071.990原则：取有效数字较短的那个数的长度原则：取有效数字较短的那个数的长度z实际上，从误差传递公式可知实传公式22+yxA⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟σσσ+Axy=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠可见的误差至少与和中误差大的那个相当可见A的误差至少与x和y中误差大的那个相当数据处理与误差分析乘方开方有效数字其底的有效数位数乘方开方：有效数字=其底的有效数位数对数函数：运算后的尾数位数=真数字位数对数函数：运算后的尾数位数真数字位数例：lg1.938=0.2973lg1938=3+lg1.938=3.2973指数函数：运算后有效数字的位数=指数小数点后的位数（包括紧接小数点后的零）lg19383lg1.9383.2973指数小数点后的位数（包括紧接小数点后的零）例：106.25=1.8×106100.0035=1008三角函数：取位随测量角度的精度而定100.0035=1.008例：注：公式中的常数取与测量值的有效数字的位数相同实验结果的正确表述6数据处理与误差分析实验结果的正确表述6测量一根铜棒的密度hh实验方法：dd测质量再测量其几何尺寸M=ρ24dh=ρπ4数据处理与误差分析测量结果测量结果：M物理天平天平感量005gM：物理天平，天平感量0.05gM=1409.37gh：游标尺，游标精度0.002cm123456h(cm)12.38212.33212.36412.35812.39012.344d：游标尺，游标精度0.002cm()12345678d(cm)40584040407040364076406240324030d(cm)4.0584.0404.0704.0364.0764.0624.0324.030数据处理与误差分析„计算结果（1）：„计算结果（1）：M=1409.37g,σM=0.03gg,Mg=12.362cm,=0.009cmhhσ=4.050cm,=0.015cmddσ=σ最大误差3xσ2()(1)ixxΔxNNN==∑σσ(1)NNN−数据处理与误差分析„计算器的使用●SD(STAT)计算器的使用MOD2ndM+nΣx2Σxxxσxσ„Windows自带的计算器数据处理与误差分析„计算结果（2）：计算结果（2）：=8.8493g/cm3M=ρπg24dhρπ222⎛⎞⎛⎞⎛⎞222+yxAzlmnAxyzσσσσ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠222+2hdMEMhd⎛⎞⎛⎞⎛⎞==+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠ρρσσσσρ=0.73%E0