基于ARMA-GARCH模型的股票价格分析与预测-杨琦

第４６卷第６期数学的实践与认识Ｖｂｌ．４６，Ｎｏ．６２０１６年３月ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＩＮＰＲＡＣＴＩＣＥＡＮＤＴＨＥＯＲＹＭａｘ．，２０１６基于ＡＲＭＡ－ＧＡＲＣＨ模型的股票价格分析与预测杨琦，曹显兵＊（北京工商大学理学院，北京１００ＣＭ８）摘要：利用时间序列模型对大众公用（６００６３５）股票价格进行分析与预测．首先，通过对数据的初步分析，建立ＡＲＭＡ拟合模型；然后，通过模型检验发现模型残差中存在条件异方差性，通过加入ＧＡＲＣＨ项消除条件异方差性，得到了ＡＲＭＡ－ＧＡＲＣＨ拟合模型；最后实证分析结果表明了模型的有效性与准确性．关键词：时间序列；ＡＲＭＡ模型；ＡＲＭＡ－ＧＡＲＣＨ模型；股票预测；Ｒ软件１引言在股票乃至期货市场中，每天各个时段的价格放在一起考虑可以分析某天的价格变化情况，而观察和分析其中一种价格的连续变化情况则可以大致了解每天的价格变化，如何分析和预测股票在后面时间的价格变动、涨跌幅度达到多少，则是很重要的．很多定性分析的理论已经成熟，但很少有定量的计算与预测．定量的计算中，股票价格自身往往对时间因素敏感，所以建立时间序列模型对价格分析与预测是一种比较理想的方法？时间序列预测方法的基本思想是：预测一个现象的未来变化时，用该现象的过去行为来预测未来，即通过时间序列的历史数据揭示现象随时间变化的规律，将这种规律延伸到未来，从而对该现象的未来做出预测．时间序列分析方法是通过分析不同时刻变量的相关关系，揭示其相关结构，是研究事物发展变化规律的一种量化分析方法２ＡＲＭＡ模型及ＧＡＲＣＨ模型简介２＿ｉＡＲＭＡ（ｐ，ｇ）模型自回归滑动平均（ＡＲＭＡ）模型是时间序列模型的一种，是由美国统计学家Ｂｏｘ和Ｊｅｎｋ？ｉｎｓ在２０世纪７０年代提出，模型表示为Ｖ９Ｙｔ＝＜ｐ〇＋ｉｆｉＹｔ－ｉ＋￡ｔ—〇ｊ￡ｔ－ｊｉ＝ｌｊ＝ｌ其中｛ｅｔ｝是白噪声序列，ｐ和ｇ都是非负整数＿ＡＲＭＡ模型是ＡＲ模型和ＭＡ模型的结合，既包含了自回归项，也包含了滑动平均项．ＡＲＭＡ模型针对的是平稳序列，对于非平稳的时间序列，不能直接应用ＡＲＭＡ模型，需要进行差分处理变成平稳的序列．例如通过考察平稳序列样本的自相关函数和偏自相关函数的性质选择适合的模型拟合观察值序列．收稿日期：２０１５－１２－２２ｇ助项目：北京市高校创新人才项目（２〇１３〇６〇２６）＊通讯作者６期杨琦，等：基于ＡＲＭＡ－ＧＡＲＣＨ模型的股票价格分析与预测８１２．２ＡＲＣＨ效应及ＧＡＲＣＨ（ｍ，ｓ）模型ＡＲＣＨ效应，自回归条件异方差性即时间序列｛ｎｐ时刻的方差在已知＊－１及其之前各时刻的信息时表现出的不平稳性，序列本身是不相关的，但其平方或绝对值序列却是序列相关的，即其方差或波动随时间变化、或者说序列本身虽然是不相关的，但却是相依序列，不是独立的．ＡＲＣＨ效应的检验中，我们需要对残差序列的平方项检验其相关性．ＡＲＣＨ模型的基本思想是：扰动是序列不相关的，但不是独立的；的不独立性可以用其延迟值的简单二次函数来描述．具体地说，ＡＲＣＨ（ｍ）模型假定：ｍ〇＾ｔ＝＝：〉：ｉ＝ｌ其中｛＆｝是均值为〇，方差为１的独立同分布随机变量序列，〉０，对ｉ＞０有叫彡０．ＧＡＲＣＨ模型是广义的ＡＲＣＨ模型．ＧＡＲＣＨ（ｍ，ｓ）模型，若叫满足下式：ｍｓａｔ—ｉ＝ｌｊｉ＝ｌ其中仿ｔ｝是均值为〇，方差为１的独立同分布随机变量序列，ａ。〉０，叫＞０，爲彡０，ｍａｘ（ｍ，ｓ）Ｅ（％＋外）＜１，可以看到ＧＡＲＣＨ模型就是第二个波动率方程中加入了ａ？的滞后项．２＝１３股票收盘价的统计模型及预测本文选取了深圳Ａ股大众公用（６００６３５）在２０１４年１月２Ｈ至２０１５年３月３１日共３０１天的收盘价数据进行分析与预测，其中最后２天的价格作为测试数据．该公司属于燃气生产和供应业中的龙头企业，而且在选取的数据时间段没有除权除息比较稳定．３．１数据的初步分析与处理利用Ｒ软件［２１，对该数据进行初步性分析．首先我们看数据的图像分布，如图３．１．Ｉ；；？－写－ＩＩＩＩＩＩ１ＩＩＩＩ＼Ｉ１０５０１００１５０２００２５０３０００５０１００１５０２００２５０３００ｔｉｍｅｔｉｍｅ（ａ）（ｂ）图３．１原始时间序列及差分时间序列从图３．１（ａ）可以明显看到，该数据随时间推移有明显的上升趋势，不是一个平稳序列，故用ＡＤＦ单位根检验其平稳性如图３．２所示．８２数学的实践与认识４６卷Ｐ值为０．９８９５，远大于显著性水平ａ，接受原假设，认为原数据存在单位根．对此，我们对数据进行一阶差分处理，消除其单位根，再进行ＡＤＦ检验，发现一次差分后的数据已经平稳（见图３．１（ｂ）），基本在某个数附近波动，可以进行模型的建立．ＡｕｇｍｅｎｔｅｄＤｉｃｋｅｙ－ＦｕｌｌｅｒＴｅｓｔｄａｔａ：ＰｒｉｃｅＤｉｃｋｅｙ－Ｆｕｌｌｅｒ＝－０．３２３９１，Ｌａｇｏｒｄｅｒ＝６，ｐ－ｖａｌｕｅ＝０．９８９５ａｌｔｅｒｎａｔｉｖｅｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ：ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ图３．２ＡＤＦ检验３．２模型的选择根据原始数据及差分后的数据得到各自的自相关系数图和偏自相关系数图，如图３．３．ＳｅｒｉｅｓＰｒｉｃｅＳｅｒｉｅｓＰｒｉｃｅＳ￣，亡兰二ｋｌ．￣＾￣：ｉｓ：〇－１？卜￣￣ｒ—ｒ—：－？〇〇ｕ－－－－－－－－－－－－－－Ｊ－＿＿？＿＿ｉｉｉｉｉｉｉｉｉ０５１０１５２０５１０１５２０ＬａｇＬａｇＳｅｒｉｅｓｄｉｆｆ（Ｐｒｉｃｅ）Ｓｅｒｉｅｓｄｉｆｆ（Ｐｒｉｃｏ）Ｏ，ｒ－ｕ．＾－＜８１？１，．．．Ｉｔ１１１＾２：｜＜＝Ｉ１ＩＩＩ１？？（卜「一？—－＿－－？〇２Ｊ－－－Ｈ－＞－－－ｉ－Ｃｒｊ＇－ｒＩ１＊￣１ＩＪＱＩＩＩＩ０５１０１Ｓ２０５１０１５２０ＬａｇＬａｇ图３．３原始数据和差分数据的ＡＣＦ、ＰＡＣＦ图图３．３中上两幅图为原始数据的自相关和偏自相关图，可以看到自相关是拖尾的，而偏自相关是１阶截尾的；下两幅是差分数据的自相关和偏自相关图，可以看到自相关系数和偏自相关系数均在４阶、１４阶时显著，由差分序列的ＡＣＦ、ＰＡＣＦ图知其都不是拖尾的，不能将模型仅定为ＡＲ模型或ＭＡ模型，所以我们考虑建立ＡＲＭＡ模型１气即ＰＱｎ＝＾２ＯｊＣＬｔ－ｊｉ＝ｌｊ＝ｌ其中Ｗ表示差分后的收盘价序列，｛ａｔ｝为差分后的干扰项，容易验证，若原序列干扰项为白噪声，差分后的干扰项也是均值为〇的白噪声．一般来说，ＡＲＭＡ（ｐ，ｇ）中的ｐ和ｇ的定阶有很多方法，简单的ＡＲＭＡ定阶方式是根据ＡＣＦ、ＰＡＣＦ图显著的阶数来定阶％但如果将模型定为１４阶，阶数太高，变董个数太多，模型过干复杂，不利于对数据的解释与预测，所以将模型暂定为ＡＲＭＡ（４，４）如图３．４所示．ｃａｌｌ：ａｒｉｍａ（ｘ？ｐｒｉｃｅ，ｏｒｄｅｒ＊ｏｒｄｅｒ＜－ｃ（４，０，４），ｉｎｃｌｕｄｅ．ｗｅａｎ＝Ｆ）Ｃｏ？ｆｆｉｃｉ？ｎｔｓ：ａｒｌａｒ２ａｒ３ａｒ４ｍａｌｍａ２ｍａＢｍａ４－０．６７６６－０．７Ｓ２０－０．８２７５－０．３０７６０．７１８６０．８０３２１．０１９５０．２６５２ｓ．ｅ．０．６１１５０．２２５８０．３４８３０．３９７９０．６２７４０．２８９４０．４０６９０．５３９９ｓｉｇｍａＡ２ｅｓｔｉｍａｔｅｄａｓ０．０２６７２：ｌｏｇｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ？１１４．３４，ａｉｃ＊－２１０．６８图３．４ＡＲＭＡ（４，４）６期杨倚，等：基于ＡＲＭＡ－ＧＡＲＣＨ模型的股票价格分析与预测８３图３＿４是ＡＲＭＡ（４，４）的模型，它显示了各阶系数的估计值与ＡＩＣ值等信息．由于做了一阶差分，所以没有常数项，其中ｓ．ｅ．表示系数估计值的标准误．在统计分析中，一般要求估计值大于其三倍标准误，这样系数才显著．由图可以看到模型参数系数大多都不符合要求，故需要降低ＡＲＭＡ的阶数．经过分别降阶的调整，发现ＡＲＭＡ（３，３）的各阶系数都显著如图３．５所示．ｃａｌｌ：ａｒｉｍａ（ｘ＊ｐｒｉｃｅ，ｏｒｄｅｒ＊ｏｒｄｅｒ＜－ｃ（３，０，３），ｉｎｃｌｕｄｅ．ｆｒ？ａｎ＊Ｆ）Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ：ａｒｌａｒ２ａｒ３ｍａｌｍａ，２财３－０．３６８８－０．５６９４－０．６６７４０．４６３６０．６４９５０．８６７６ｓ．ｅ．０．０８Ｓ４０．０Ｓ３８０．０８０３０．０６０Ｓ０．０３３２０．０６１６ｓｉｇｍａ＾２ｅｓｔｉｍａｔｅｄａｓ０．０２６９９：ｌｏｇｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ＝１１２．８９，ａｉｃ＊－２１１．７９图３．５ＡＲＭＡ（３，３）进一步，为了模型简单，我们希望找到更低阶、但还能充分解释数据信息的模型，所以这里我们选择降１阶后的模型与ＡＲＭＡ（３，３）比较，通过ＡＩＣ准则比较其大小，选择ＡＩＣ最小的模型丨５１？然而模型拟合发现ＡＲＭＡ（３，２）、ＡＲＭＡ（２，３）、ＡＲＭＡ（２，２）三个模型ＡＲ和ＭＡ各阶系数均不显著，故不能通过ＡＩＣ准则来降阶．因此，我们选择ＡＲＭＡ（３，３）模型来作为最终的均值方程，即ｒ＊ｔ＝—〇．３６８８ｒｆ＿ｉ—０．５６９４ｒｆ＿２—〇．６６７４ｒｔ＿３＋Ａ＋０．４６３６七＿１＋０．６４９５ａ卜２＋〇．８６７６七＿３３．３残差的检验在得到均值方程后，需要对方程的残差序列进行白噪声检验，如果残差序列不是白噪声，说明残差序列中还存在有用的信息未被提取，需要进一步改进模型．对｛？｝序列做Ｂｏｘ－Ｌｊｕｎｇ检验，检验其是否不相关，如图３．６．Ｂｏｘ－Ｌｊｕｎｇｔｅｓｔｄａｔａ：ｍｄＳｒｅｓｉｄｕａｌｓＸ－ｓｑｕａｒ？ｄ＊４．９４９３，ｄｆ？６，ｐ－ｖａｌｕｅ？０．ＳＳ０３图３．６残差的混成检验ｐ值为０．５５０３，远大于显著性水平，故接受原假设，认为残差不存在自相关，是白噪声序列．进一步，画出残差的ＱＱ图如图３．７所示．由ＱＱ图可以知道，残差不服从正态分布，并且残差是厚尾的分布，存在一定的右偏现象．图３．８为残差的时序图，可以明显的看到大的波动后面往往跟着较大的波动，波动呈聚集现象，故考虑残差可能存在条件异方差．＊？ＩＩＩＩＩＩｉ？０６－０２０２０６０５０１５０２５０ＳａｍｐｌｅＱｕａｎｔｉｌｅｓＴｉｍｅ图３．７残差ＱＱ图图３．８残差的时序图８４数学的实践与认识４６卷３．４ＡＲＣＨ效应的检验由前面的介绍，我们需要对残差序列的平方进行相关性检验，这里我们仍采用Ｂｏｘ－Ｌｊｕｎｇ检验，得到的结果Ｐ值远远小于显著性水平，故拒绝原假设，认为残差的平方项存在强相关性，即序列存在条件异方差性．３．５ＧＡＲＣＨ模型选择与建立由于模型存在条件异方差性，所以要对模型的残差建立波动率方程，在这里，我们选择ＧＡＲＣＨ模型来解释条件异方差．一般ＧＡＲＣＨ模型的阶数为（１，