2015高三数学凹凸

2015高考，我们来了•备考建议•围绕基础，步步紧跟，高考难度比为7:2:1，最基础的也就是说占到百分之七十，这部分是最容易拿到的，只有基础的过关了才有基础去攻克难的部分；•胆大心细，做题目既要讲求方法，又要讲求技巧，既要保证准确率，又要提高解题速度.1、关注六个主要题型——核心是讨论单调区间！导数题的六个主要题型：1°求曲线切线方程；2°讨论函数单调区间；3°讨论函数极值、最值；4°讨论函数零点个数（或方程根的个数）；5°不等式恒成立、或存在型问题；6°证明不等式（或一条曲线在另一条曲线上方，与不等式恒成立是相似问题）化归：讨论极值、最值、零点个数、恒成立或存在性问题、证明不等式都可以化归为讨论函数单调区间问题。案例1：导数专题复习2.强化规范意识——少丢分的法宝！“图+表述”式书写“图+表”式书写3.关注三个基本技能——解导数题的有效策略！策略一：“将导数进行到底！”能看清一个复杂问题的本质；策略二：用一点极限思想，会使研究函数形态问题变得简单；策略三：画图，可看清讨论的分类标准。例1.求证：)2,0(,6sin3xxxx.证明：令6sin)(3xxxxf.则2/211cos)(xxxf；令)()(/xfxg，则xxxgsin)(/；令)()(/xgxh，则01cos)(/xxh在)2,0(x恒成立，∴)(xh在)2,0(x是单调递增函数，又0)0(h，∴0)()(/xhxg在)2,0(x恒成立，即)(xg在)2,0(x单调递增，又0)0(g，∴0)()(/xgxf在)2,0(x恒成立，即)(xf在)2,0(x是单调递增的，又0)0(f；∴0)(xf在)2,0(x恒成立，即)2,0(,6sin3xxxx.例2.已知函数2()=(1)xafxx--，(1,)x??．(Ⅰ)求函数()fx的单调区间；(Ⅱ)函数()fx在区间[2,)+?上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．分析：（I）4(1)(21)()(1)xxafxx，(1,)x.1a时，()fx的减区间为(1,)；1a时，()fx的增区间为(1,21)a，()fx的减区间为(21,)a。（II）（1）当1a时，()fx在[2,)上单调递减，不存在最小值；（2）当1a时，①若212a，即32a时，()fx在[2,)上单调递减，不存在最小值；②若212a，即32a时，()fx在[2,21)a上单调递增，在(21,)a上单调递减。此时，当x时，0)(xf；而(2)2fa，如图。显然当0)2(f，即2a≥时，()fx有最小值2a；综上，当2a≥时，()fx有最小值2a。4.讨论函数零点个数（或方程根的个数）解题方法：方法1：转化为方程f(x)=0，单调性+零点存在性定理；方法2：转化为方程f(x)=c，通过作函数y=f(x)和y=c讨论交点个数情况；5.关注恒成立、存在型问题（或证明不等式问题）解题方法：方法1：分离参数，通过求函数最值解决问题；方法2：通过讨论参数，转化为求函数最值问题加以解决。例3.（2013山东卷理21）设函数f(x)=2xxe+c（e为自然对数的底，c∈R）.(2)讨论关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数.解析：思路：将方程改为|lnx|-xe-2x=c,然后研究方程右侧函数的图像形态，进而得知与直线y=c的交点个数情况.易知函数g(x)=|lnx|-xe-2x在（0,1）上单减；在（1，+∞）上单增.g(x)min=g(1)=-e-2，且当x→0时，g(x)→+∞；当x→+∞时，|lnx|→+∞，x·e-2xx·x-1e-x=1/ex→0.即g(x)→+∞，∴可得图像的大致形态如图，于是：①c-e-2时，无实数根；②c=-e-2时，有1个实数根；③c-e-2时，有2个实数根.例4：已知函数Raxaxxf,ln21)(2.（1）求函数)(xf的单调区间；（2）若函数)(xf在区间],1[e上的最小值为1，求a的值。简解：（1）因为)0(11)(2/xxaxxaxxf，所以易得，当0a时，)(xf在),0(上单调递减；当0a时，)(xf在)1,0(a上是单调递减，在),1(a上是单调递增。（2）①当0a时，在],1[ex上，0)(/xf恒成立，所以)(xf是单调递减函数，所以12)()(2minaeefxf，令1)(minxf，解得24ea（与0a矛盾，舍去）.②当0a时，可以通过对“动点”与“定区间”位置关系的讨论完成解题：（ⅰ）当11a，即1a时，则),1(],1[ae，所以)(xf在区间],1[e上单调递增，于是有afxf21)1()(min，令1)(minxf，得2a（符合1a的要求）；（ⅱ）当ea11，即112ae时，因为)1,0()1,1[aa，),1(],1(aea，所以)(xf在区间)1,1[a单调递减，在区间],1(ea单调递增，于是有2ln21)1()(minaafxf，令1)(minxf，得ea（与112ae矛盾，舍去）；（ⅲ）当ea1，即210ea时，因为)1,0(],1[ae，所以)(xf在],1[e上单调递减，于是12)()(2minaeefxf，令1)(minxf，得24ea（与210ea矛盾，舍去）.综上可知：2a.变式1：若],1[ex，都有0)(xf成立，求a的取值范围。解法1：（讨论参数法）转化为0)(minxf成立。由第（2）小题的讨论可知：①当21ea时，12)()(2minaeefxf，令0)(minxf，得22ea，不符合；②当112ae时，2ln21)1()(minaafxf，令0)(minxf，得ea1，所以11ae；③当1a时，afxf21)1()(min，令0)(minxf，得0a，所以1a。综上可得，ea1.解法2：（驻点法）由于函数)(xf的最小值是在1x或ex或ax1取得，所以只需.0)(,0)1(,0)1(efaff即得ea1.解法3：（分离参数法）由0)(xf得22lnxax，于是问题转化为求函数22ln()xgxx在区间[1,]e上的最大值问题。易求得()gx在区间[1,)e上单调递增，在(,]ee上单调递减，于是max1()()gxgee，于是可得ea1.变式2：若函数)(xf在],1[ex上是单调函数，求a的取值范围。解析：由前面的讨论可知：①当21ea时，函数)(xf是单调递减的，符合题意；②当1a时，函数)(xf是单调递增的，也符合题意。综上可知),1[]1,(2ea.变式3：设24()43gxxx，若对[1,]xe，总有()()fxgx成立，求a的取值范围。解析：方法1：（分离参数法）问题可转化为[1,]xe，总有2214()()ln4023fxgxaxxxx成立，即222ln8823xaxxx成立。设()kx222ln8823xxxx，则/3204ln83()xxkxx，∴对[1,]xe，总有/()0kx，∴函数()kx在[1,]xe上单调递减，于是max()(1)kxk103，从而可得103a即为所求。变式4：若0[1,]xe，使得0()0fx成立，求a的取值范围。①21ae时，由上面可知2min()()12efxfea，令min()0fx，解得22ae，∴21ae符合题意；②1a时，min()(1)2afxf，令min()0fx，解得0a不符合题意；③当211ae时，min111()()ln22fxfaa，令min()0fx，解得1ae.所以211aee符合题意。综上可得，所求a的取值范围是1(,]e.解析：转化为min()0fx成立。例5.（2014·天津卷理20）设f(x)＝x－aex(a∈R)，x∈R.已知函数y＝f(x)有两个零点x1，x2，且x1x2.求a的取值范围；案例2：解析几何复习大题失分点：问题转换思想的薄弱、计算错误圆锥曲线作为高考数学的必考知识点，以1+1的形式长期“雄霸”高考题，考虑到解答题主要考查椭圆，选择题在命题时，大多涉及抛物线和双曲线，特别是双曲线。在解答这类题目时，考生一定切忌“小题大做”，与解答题不同，这道选择题一般都是围绕双曲线的定义及简单性质切入，有时会通过结合实际的几何意义，与三角形、圆等结合考查。题目特点“灵活多变，想定义”小题失分点：忽视定义、盲目联立凹凸教育例1.过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点F作圆x2＋y2＝a24的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若)(21OPOFOE，则双曲线的离心率为()A.210B.5C.10D.2解析：选A。本题考查双曲线的定义、性质、圆的切线性质、向量加法的几何意义。向量式)(21OPOFOE的几何意义是E是线段PF的中点（平行四边形法则）.例2.已知过点A（3,0）的直线l与椭圆G：1422yx相交于点B、C.若以BC为直径的圆经过坐标原点O，求|BC|？改变条件改编：（1）若|AB|=|BC|，求|BC|；（2）若S△OAB=S△OBC，求|BC|；（3）若S△OAB=S△OBC=1:2,求|BC|；（4）在椭圆G上能否存在一点D，使四边形OBDC为菱形？若存在，求出|BC|；否则，请说明理由；例3例4.(2014四川卷理20)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C的标准方程．(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；②当|TF||PQ|最小时，求点T的坐标．解析：（1）椭圆C的标准方程是x26＋y22＝1.（2）思路：①求出PQ的中点M的坐标，证明直线OM和OT的斜率相等即可。②求出|TF|和|PQ|的比值，并由最小值时等号成立条件求出T的坐标。①证明：设T(－3，m)，则kTF＝－m.PQ的方程是x＝my－2.则PQ的中点M－6m2＋3，2mm2＋3.∴kOM＝－m3，kOT＝－m3，得证。②∵|TF|＝m2＋1，|PQ|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝24（m2＋1）m2＋3.∴|TF||PQ|＝124·（m2＋3）2m2＋1＝124m2＋1＋4m2＋1＋4≥124（4＋4）＝33.当且仅当m2＋1＝4m2＋1，即m＝±1时，|TF||PQ|取得最小值．此时T点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．案例3：数列1.(2014辽宁高考,理8)设等差数列{an}的公差为d,若数列{2𝑎1𝑎𝑛}为递减数列,则()A.d0B.d0C.a1d0D.a1d0命题定位:本题考查了利用数列的单调性推导相关参数的能力,并且此题综合了指数不等式、函数单调性等知识,试题创新性强,难度中等.∵数列{2𝑎1𝑎𝑛}为递减数列,∴2𝑎1𝑎𝑛2𝑎1𝑎𝑛+1,n∈N*,∴a1ana1an+1,∴a1(an+1-an)0.∵{an}为公差为d的等差数列,∴a1d0.故选C.2.(2014大纲全国高考,理10)等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前8项和等于()A.6B.5C.4D.3命题定位:本题综合考查等比数列的性质及对数的运算法则,突出考查对性质的应用及运算求解能力.∵a4=2,a5=5,∴a4a5=a1a8=a2a7=a3a6=10,∴lga1+lga2+…+lga8=lga1a2…a8=lg(a1a8)4=lg(a4a5