分层介质中弹性波的传播

第四章分层介质中弹性波的传播在地震勘探中我们所研究的地球介质，按其物性变化是分层的，具有层状结构。因此，讨论在两种弹性性质不同的介质分界面上波的现象，是十分重要的。地球表面是一个特殊的分界面、它将无限介质划分为两个半空间。地面以上空气介质，其密度与地面以下的岩石或海平面以下的海水层相比可以忽略。地球表面可以看成是一个弹性半空间表面，称为自由表面，其上的应力作用为零。本章中将介绍弹性波在自由表面上的反射、在内部两种不同的弹性介质分界面上的反射和折射以及其它与自由表面和内部分界面相联系的波的现象．§4－1平面波在自由表面上的反射一、解题坐标及位函数的选择研究一个平面波入射到自由表面时的反射问题。如图4－1，取直角坐标系x、y、z，z＝0为弹性半无限空间的自由表面，z轴垂直向下，指向介质内部。有一平面波入射到自由表面。设波的射线与y轴垂直。这样波函数将与y轴无关。包含入射波和反射波射线及界面法线的射线平面与xoz平面重合。我们知道，位移向量可以分解为梯度场和旋度场两部分。考虑到波函数与y轴无关，质点位移分量用位函数表示，式（2－5）可以写作(x,y,z三个方向的位移)：yxzyuxzvzxwzxfjfffjü¶¶ï=-ï抖ﶶï=-ý抖ïﶶï=+ï抖þ(4-1)yzxzyxuxyzvyzxwzxyffjffjffjü¶¶¶ï=+-ï抖?ïﶶ¶ï=+-ý抖?ïﶶï¶=+-ï抖?ïþ(2-5)其中位移分量可以分为两组，一是由位移位和表示的、分量，代表着在xoz平面上质点的振动；另一组是由位移向量位分量和表示的位移分量，代表着质点在yoz平面上的振动。用表示，代表在xoz平面传播的纵波，而代表在xoz平面传播的横波，它所引起的质点振动发生在垂直平面xoz内。所以称为SV横波。位移分量是在xoz平面内传播的横波所引起的在y轴方向上的振动，这种横波称为SH横波。SV和SH两类横波，以其所引起的质点振动方向相区别，称为极化波。yuwxzvyv通常,在动力学中分别讨论纵波P和横波SV，以及SH横波。对P和SV波，，；对SH波，，对前一组波使用标量位函数和，对后一组波另外引用一个标量位，定义如下：用来表示位移向量位分量，的一个标量函数，可以证明，它将满足横波波动方程：0y¶=¶0v=0y¶=¶0uw==xzzxcfcfüïïïïýïïïïþ¶=¶¶=-¶(,)xzcc=xz(4-2)其中，β为横波传播速度。2mbr=222210tccb¶?=¶(4-3)二、P波和SV波在自由表面上的反射P和SV波的传播，将引起介质质点在xoz平面的振动。取位移位和作为P波和SV波波函数，它们将满足波动方程：其中、分别表示纵波和横波的传播速度。使用分离变量法寻求这两个方程的一般解，形式如下：其中c是波沿x方向的视速度，。22221tjja¶?¶22221tffb¶?¶()(,)()xjkctxxzfzej-=()(,)()xjkctxxzgzef-=xwkc=(4-4)(4-5)将(4-5)代入式(4-4)中的相应方程，可以得到以z为变量的常微分方程：它们的解是:22222(1)0xfckfz22222(1)0xgckgz221222()exp(1)exp(1)xxccfzAjkzAjkz221222()exp(1)exp(1)xxccgzBjkzBjkz(4-6)(4-7)(4-8)将上式代入式(4-5)．将得到和的一般解，其中第一项是沿x的正方向,z负方向传播的简谐波。第二项是沿x正方向,z正方向传播的简谐波。这个简谐波函数可化为其它常见形式。212222(,,)exp(1)exp(1)xxcxztAjkctzxcAjkctzxjaa轾犏=+--犏犏臌轾犏+---犏犏臌(4-9)212222(,,)exp(1)exp(1)xxcxztBjkctzxcBjkctzxfbb轾犏=+--犏犏臌轾犏+---犏犏臌(4-10)分析一下波函数的复合变量。如图4－2所见，为入射线。e为出射角，取为波沿x方向的视速度，KA为波前面，则为波沿射线的传播速度。在三角形OAK中将延长。与OZ相交于B，为波沿z方向的视速度，AOOKcOA22tan1ce(4-11)KAzOBcsinzcezzkC(4-12)因此，可有：其中为波数；,为波的入射方向的方向余弦。上式也可以写成：以式(4-13)或式(4-14)为复合变量的波函数，如图4-2所见，显然表示的是沿x正方向、z负方向传播的入射波。22(1()()()xzxcjkctzxjtkzkxlxnzjtklxnzjt(4-13)kcoslecos()sin2nee22cossin(1()xcxezejkctzxjt(4-14)当到自由表面有一个P波和SV波入射时，将产生一个P波和SV波反射波。如图4－3所示。图中e、f表示P波和SV波到自由表面的出射角，它们的余角id和is，称为波的入射角.由于入射波和反射波沿分界面ox的视速度相等，即有一个波入射到分界面，就立刻产生反射波，与分界面相联系的各个波的波函数表达式，取其简谐形式解为：（1）入射P波（2）入射SV波（3）反射P波（4）反射SV波其中C为各个波沿方向的视速度。2112exp(1)xcAjkctxz(4-15)2332exp(1)xcAjkctxz(4-16)2222exp(1)xcAjkctxz(4-17)2442exp(1)xcAjkctxz(4-18)OX对半空间而言，两个位移位和分别为:其中，.因为其中、对各类波是共同参数。通解中包含的未定系数,,,,是各个简谐波的振幅,可根据自由表面上的边界条件来确定。21212222exp(1)exp(1)xxcAjkctxzcAjkctxz(4-19)21232242exp(1)exp(1)xxcAjkctxzcAjkctxz(4-20)221tance221tancfkxc1A2A3A4A在自由表面上，从自由空间一侧对半无限弹性介质表面作用力等于零，因而在z＝0的边界上，正应力和切应力应等于零。我们有边界条件：根据关系式(4-1)以及(1-36)，(1-41)，用位移位和表示边界条件(4-21)，(4-22)，经演算可以得到：zzzx0020zzzzzze000zxzxzze（1）（4-21）（2）（4-22）222222222020zxzxxz22222020zxzxz（4-23）（4-24）讨论P波入射的情况，(画图形)，将，代入边界条件(4-23)、式(4-24)，整理后得到：使用入射角参数id，is整理上式，可以得到其中求解振幅比，他们称为反射系数3012422124222212422()(2)2102()1(2)0ccAAAccAAA（4-25）22124212(2cos)()(sin2)0(sin2)()(cos2)0dsdsiAAiAiAAi（4-26）21AA41AA因此，求解方程组(4-26)可以得到：222221sin2sin2cos2sin2sin2cos2dssdssiiiAAiii42212sin2cos2sin2sin2cos2dsdssiiAAiii（4-27）（4-28）根据视速度相等,画图说明id和is的关系与自由表明反射系数有关的几个问题1．作为位移振幅比的反射系数我们已经导出了反射波与入射波的位移位振幅比，这里将计算位移振幅比，以建立两者之间的关系。为此，将入射P波、反射P波和反射SV波位移位、、分别代入式(4-1)，得到各类波相应的位移分量、、；反射系数等于z＝0处的反射波与入射波位移的振幅比。位移S根据其分量计算，有关系式如下:12411(,)uw22(,)uw44(,)uw22Suw（4-29）将式(4-15)、式(4-17)、式(4-18)代入式(4-1)，并考虑关系式(4-29)，得到z＝0处的反射波和入射波振幅比：因此，位移振幅比等于位移位振幅比乘以相应的波速之比的倒数。222111xxcjkAsAcsAjkA444111xxcjkAsAcsAjkA（4-30）（4-31）对吗??2．自由表面反射特点图4-4中以泊松体为例，绘出了自由表面反射系数A2／A1，和A4／A1与P波入射角id的关系曲线。当P波垂直入射到自由表面时，e＝90。或id=0。则有，;表示存在P波反射波，无SV反射波；当P波平行入射到自由面时，e＝0。或id=90。，同上。1(,)4v211AA410AA当P波入射角id在0~90。之间，可以找到使A2／A1为零的两个值，表示以这样的角度入射时，无反射P波存在。对泊松体，两个无反射P波的入射角是60。和77。13’，这时介质中存在着转换SV反射波。3.关于负反射系数的解释P波入射到自由表面在大多数情况下，反射系数为负。在波垂直入射或平行入射时，反射系数为-1。这时，反射波振幅和入射波振幅符号相反。也就是说，如果一个入射脉冲头部为极大相位，则经自由表面反射后，其头部应为极小相位。或者说，两个脉冲相位差为180。事实上对时间因子ejwt乘以－1，相当于，振动相位变化180；反射波与入射波位移方向相反，称为反相位。见右图。()jtjtee4．自由表面反射时各类波的能量关系根据位移位振幅比可以找出反射波和入射波能量关系。为此，讨论一个射线束。如图4－6所示，P波以id角入射到自由表面，产生一个P波反射波，反射角为id，以及一个SV波反射波，反射角为is。取一个入射波和反射波射线束，射线束与自由表面斜交，设其截面为1，则入射波射线束宽cosid，P波反射波射线束宽为cosid、SV波反射波射线束宽为cosis。能流密度I(见公式1－119)乘以射线束横截面将等于在单位时间内波通过截面积为1的自由表面上的能量。它将等于在同一时间内反射波P和SV波自该段自由表面带走的能量。因此，我们可以列出能量关系：上式经整理后可以得到：222222124111coscoscos222ddsSiSiSi22242211cos1cossdiSSSSi（4-32）考虑到关系式，上式又可改为根据位移振幅比与位移位振幅比的关系，上式可变换为利用上面两式，已知P波反射系数就可以计算转换SV波反射系数。或相反，已知P－SV转波反射系数可以计算P波反射系数。/sin/sindsii22242211sin21sin2sdiSSSSi22242211tan1tandsiAAAAi(4-33)(4-44)三、SH波在自由表面上的反射SH波，根据所选坐标系及位函数，此时研究位函数，它满足波动方程(4－3)。该方程的一般解可以写作：其中为波数，为入射波入射方向的方向余弦。当有一SH波入射到自由表面z＝0时，则有一个反射SH波产生。如图4－7所示。0y0uw(,,)xzt(,,)exp()sxztBjktlxnz(4-35)sk,ln写出入射波和反射波的波函数，其形式如下：1．SH入射波：2．SH反射波：所求解的波函数应满足自由表面上的边界条件。这些条件是作用于自由表面上的应力应等于零。作用于z＝0面的应力有;考虑到SH波的情况，这里只存在：1exp(sinc