高中数学复习-二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题人教版必修5

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题第3课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考温故夯基·面对高考温故夯基·面对高考1．二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的_____．2．二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线Ax＋By＋C＝0分成三类：(1)满足Ax＋By＋C__0的点；(2)满足Ax＋By＋C__0的点；(3)满足Ax＋By＋C__0的点．解集＝3．二元一次不等式表示的平面区域的判断方法直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，当点在直线l的同一侧时，点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有_____的符号，当点在直线l的两侧时，点的坐标使Ax＋By＋C的值具有____的符号．相同相反4．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的__________线性约束条件由x，y的_____不等式(或方程)组成的不等式组不等式(组)一次名称意义目标函数关于x，y的函数________线性目标函数关于x，y的_____解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有________组成的集合最优解使目标函数取得______或______的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的_______或______问题解析式一次可行解最大值最小值最大值最小值思考感悟可行解与最优解有何关系？最优解是否唯一？提示：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．考点探究·挑战高考二元一次不等式(组)表示平面区域考点突破学会判定二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)同号上，异号下．当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．(2)直线定界、特殊点定域．注意不等式是否可取等号，不可取等号时直线画成虚线，可取等号时直线画成实线．若直线不过原点，特殊点常选取原点．例1(1)画出不等式组x32y≥x3x＋2y≥63yx＋9表示的平面区域；(2)如图，△ABC中，A(0,1)，B(－2，2)，C(2,6)，写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组．【思路分析】(1)分别画出每个不等式所表示的平面区域，然后取其公共部分；(2)先由两点式分别求出直线AB、AC、BC的方程，然后写出不等式组．【解】(1)不等式x3表示x＝3左侧点的集合．不等式2y≥x表示x－2y＝0上及其左上方点的集合．不等式3x＋2y≥6表示直线3x＋2y－6＝0上及其右上方点的集合．不等式3yx＋9表示直线3y－x－9＝0右下方点的集合．综上可得：不等式组表示的平面区域如图所示：(2)由两点式得直线AB、BC、CA的方程并化简为：直线AB：x＋2y－2＝0，直线BC：x－y＋4＝0，直线CA：5x－2y＋2＝0.∴原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为x＋2y－2≥0，x－y＋4≥0，5x－2y＋2≤0.【规律方法】要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域，只需在它所对应直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正负判定即可．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．求目标函数的最值求目标函数的最值，首先要正确作出可行域，然后将目标函数变为直线方程的斜截式的形式，分析目标函数的最值与该直线在y轴上的截距之间的关系，然后平移该直线，以便找到最优解，求出目标函数的最值．例2设变量x，y满足约束条件x－y≥0，x＋y≤1，x＋2y≥1.(1)求z＝5x＋y的最大值；(2)求z＝yx＋1的取值范围．【思路分析】(1)将直线5x＋y＝0向上平移，由可行域可得z的最大值；(2)z＝yx＋1表示直线的斜率，即求可行域内的点与(－1,0)点连线的斜率的范围．【解】由x－y≥0x＋y≤1x＋2y≥1作出可行域如图阴影部分所示：(1)由z＝5x＋y知，当y＝－5x向上平移且过点(1,0)时取得最大值，即zmax＝5×1＋0＝5.(2)z＝yx＋1表示可行域内任一点与C(－1,0)点连线的斜率，因此yx＋1的范围为直线CD的斜率到直线CA的斜率，而由y＝xx＋y－1＝0，得A(12，12)，由x＋y－1＝0x＋2y－1＝0，得D(1,0)，∴kCD＝0，kCA＝12－012＋1＝13，∴z的取值范围是[0，13]．【方法小结】目标函数范围的求解，常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有以下两种：(1)x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)间的距离；(x－a)2＋(y－b)2表示点(x，y)与点(a，b)间的距离的平方．(2)yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．互动探究本例条件不变，求z＝(x－12)2＋y2的取值范围．解：z＝(x－12)2＋y2表示可行域内的任意一点与(12，0)点间距离的平方．因此(x－12)2＋y2的最小值为(12，0)点到直线x＋2y－1＝0距离的平方，则zmin＝12－121＋4＝120.z的最大值为(12，0)点到A点、B点、D点距离平方的最大值，则由计算知zmax＝14，∴z的取值范围是[120，14]．线性规划的实际应用解线性规划应用问题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答．例3(2010年高考广东卷)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知1个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；1个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果1个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？【思路分析】设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x，y个单位，由题意得到线性约束条件及目标函数，进而画出可行域及求得最优解．【解】法一：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意，得z＝2.5x＋4y，且x，y满足x≥0，y≥0，12x＋8y≥64，6x＋6y≥42，6x＋10y≥54，即x≥0，y≥0，3x＋2y≥16，x＋y≥7，3x＋5y≥27.作出可行域如图，则z在可行域的四个顶点A(9,0)，B(4,3)，C(2,5)，D(0,8)处的值分别是zA＝2.5×9＋4×0＝22.5，zB＝2.5×4＋4×3＝22，zC＝2.5×2＋4×5＝25，zD＝2.5×0＋4×8＝32.比较之，zB最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．法二：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意，得z＝2.5x＋4y，且x，y满足x≥0，y≥0，12x＋8y≥64，6x＋6y≥42，6x＋10y≥54，即x≥0，y≥0，3x＋2y≥16，x＋y≥7，3x＋5y≥27.作出可行域如图，让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在B(4,3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．【误区警示】本例属线性规划实际应用问题，解决此类问题常见的错误点有：(1)不能准确地理解题中条件的含义，如“不超过”、“至少”等线性约束条件出现失误；(2)最优解的找法由于作图不规范而不准确；(3)最大解为“整点时”不会寻找“最优整点解”．处理此类问题时，一是要规范作图，尤其是边界实虚要分清；二是寻找最优整点解时可记住“整点在整线上”(整线：形如x＝k或y＝k，kZ)．方法感悟方法技巧1．作二元一次不等式(组)表示的平面区域一般是“线定界，点定域”．注意不等式中不等号有无等号，无等号时画虚线，有等号时画实线，点通常选择原点(如例1(1))．2．线性目标函数z＝ax＋by取最大值时的最优解与b的正负有关，若b0，最优解是将直线ax＋by＝0向上平移到端点(最优解)的位置而得到的；若b0，则是向下平移．3．解线性规划问题的思维精髓是“数形结合”，其关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范，假若图上的最优点并不明显易辨时，不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检测，以“验明正身”．失误防范1．二元一次不等式与半平面的对应关系，比如：二元一次不等式Ax＋By＋C0当A0时表示直线l：Ax＋By＋C＝0右侧的平面；当A0时表示直线l：Ax＋By＋C＝0左侧的平面．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．在通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值式时，要注意：当b0时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值；当b0时，截距zb取最大值时，z取最小值；截距zb取最小值时，z取最大值．考向瞭望·把脉高考考情分析从近几年的高考试题来看，二元一次不等式(组)表示的平面区域(的面积)，求目标函数的最值，线性规划的应用问题等是高考的热点，题型既有选择题，也有填空题，难度为中、低档题．主要考查平面区域的画法，目标函数最值的求法，以及在取得最值时参数的取值范围．同时注重考查等价转化、数形结合思想．预测2012年广东高考仍将以目标函数的最值、线性规划的综合运用为主要考查点，重点考查学生分析问题、解决问题的能力．命题探源例(2010年高考天津卷)设变量x，y满足约束条件x＋y≤3，x－y≥－1y≥1，，则目标函数z＝4x＋2y的最大值为()A．12B．10C．8D．2【解析】画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝4x＋2y可转化为y＝－2x＋z2，作出直线y＝－2x并平移，显然当其过点A时纵截距z2最大．解方程组x＋y＝3y＝1，得A(2,1)，∴zmax＝10.【答案】B【名师点评】本题与教材中P91的练习1(1)题相似，考查了线性规划问题，试题难度较小，试想，若目标函数变为z＝ax－y，是否有最大值？名师预测答案：C1．下面给出的四个点，位于x＋y－10x－y＋10表示的平面区域内的点是()A．(0,2)B．(－2,0)C．(0，－2)D．(2,0)2．如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式()A．x＋y－10B．x＋y－10C．x－y－10D．x－y－10答案：B3．(2010年高考重庆卷)设变量x，y满足约束条件x≥0，x－y≥0，2x－y－2≤0，则z＝3x－2y的最大值为()A．0B．2C．4D．6答案：C4．不等式组x≥0y≥0x＋y≤1所表示的平面区域的面积为________．答案：12