费马点模型(1)

知模型，会应用；明原理，读懂数学.——张永坤关于费马点问题在初三几何题中的研究“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点.若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小.这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个.【定义】1.若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心.（托里拆利的解法中对这个点的描述是：对于每一个角都小于120°的三角形ABC的每一条边为底边，向外作正三角形，然后作这三个正三角形的外接圆。托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点，而这个交点就是所要求的点。这个点和当时已知的三角形特殊点都不一样。这个点因此也叫做托里拆利点。）2.若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点.【费马点问题】问题：如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？图文解析：如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．则△CPP′为等边三角形，CP=PP′，PA=P′A′，∴PA+PB+PC=P′A′+PB+PP′BC′．∵点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA′为定长，∴当B、P、P′、A′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．最小值为BA.′【如图1和图2，利用旋转、等边等条件转化相等线段.】∴∠APC=∠A′P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°，∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°，∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.因此，当△ABC的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．【方法总结】利用旋转、等边等条件转化相等线段，将三条线段转化成首尾相连的三条线段.【知识应用】两点之间线段最短.【典型例题】例1如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转600得到BN，连接EN、AM、CM.（1）求证:△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；（3）当AM＋BM＋CM的最小值为13时，求正方形的边长.【图文解析】（1）SAS证全等∵△ABE是等边三角形，∴BA=BE，∠ABE=60°，∵旋转，图3图1图2知模型，会应用；明原理，读懂数学.——张永坤∴∠MBN=60°，MB=NB∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN，即∠BMA=∠NBE，∴△AMB≌△ENB（SAS）；【如图3】（2）两点之间，线段最短①当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小；②连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，∴AM=EN，∵∠MBN=60°，MB=NB，∴△BMN是等边三角形，【如图4，证等边，转化线段】∴BM=MN，∴AM+BM+CM=EN+MN+CMCE，∴当E、N、M、C四点在同一直线上时，得EN+MN+CM=CE最短∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于CE的长；【如图5，转化三条线段首位相连】（3）方法一：知CE求BC；把握特殊角过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.设正方形的边长为x，则EF＝2x，BF＝23x.【如图6】在Rt△EFC中，∠EFC=90°，∴EF2＋FC2＝EC2，【如图7，利用勾股定理列方程，建立等量关系】∴（2x）2＋（23x＋x）2＝213.解得:21x，22x（舍去）.∴正方形的边长为2.方法二：发现特殊△AEC（30°、45°、105°），拆分顶角.连接AC，作AF⊥CE.∵∠EBC＝90°+60°＝150°，BE=BC，∴∠BEC＝∠BCE＝15°，∴∠AEC＝45°，∠ACE＝30°.假设EF=a，在等腰直角△AEF中，AF=EF=a，【如图8】在直角△ACF中，CF=3AF=3a，【如图8】∵CE=13，∴a+3a=13，解得：a=1.∴正方形的边长AB=AE=2EF=2图4图5图6图7图8知模型，会应用；明原理，读懂数学.——张永坤例2（2017年济南市网评卷）如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线cbxxy2过A、B两点，且与x轴交于另一点C．（1）求b、c的值；（2）点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR，求PA+PC+PG的最小值．【图文解析】（1）求A、B两点坐标，代入抛物线解析式，求出b、c的值.∵一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴当x=0时，y=3，当y=0时，x=-3∴A（-3，0），B（0，3），………...…1分∵抛物线cbxxy2过A、B两点，∴将点代入得：0393cbc……….……2分解得：23bc..…..…..….…3分（2）求直线CE的解析式，联立解析式求点M的坐标.由（1）知，抛物线解析式为：322xxy.当y=0时，0322xx，解得：31x，12x，∴点C坐标（1，0），.………….…4分作EH⊥OD，则易证△DEH∽△DBO.【如图9】∵点D为AC的中点∴AD=DC=2，∴点D坐标（-1，0），∵BE=2ED，∴BD=3ED，∴OH=32OD=32，EH=31OB=1.图1图2备用图图9知模型，会应用；明原理，读懂数学.——张永坤∴点E坐标（-32，1），【求E点坐标，进而求直线CE的解析式】设直线CE为y=kx+b，把E、C代入得1320bkbk，解得：5353bk∴直线CE为5353xy，………….…5分由3253532xxyxy解得2551512yx或01yx（舍去），∴点M坐标（512，2551）．……….…6分（3）“费马点”问题，利用旋转、等边等条件转化相等线段，将三条线段转化成首尾相连的三条线段.∵△AGQ，△APR是等边三角形，∴AP=AR，AQ=AG，∠QAC=∠RAP=60°，∴∠QAR=∠GAP，∴△QAR≌△GAP，【如图10】∴QR=PG．……………….7分∴PA+PG+PC=QR+PR+PCQC，∴当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，【如图11】在直角△AOG中，∵∠GAO=60°，AO=3，∴AG=QG=AQ=6，OG=33，∴点Q坐标（-6，33）．……….…8分由距离公式得：CQ=192760331622……….…9分图10图11知模型，会应用；明原理，读懂数学.——张永坤【跟踪练习】例3（2017年市中区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－1,0），点B的坐标为（4，0），经过点A点B抛物线y=x²+bx+c与y轴交于点C.（1）求抛物线的关系式.（2）△ABC的外接圆与y轴交于点D，在抛物线上是否存在点M使S△MBC=S△DBC，若存在，请求出点M的坐标.（3）点P是直线y=-x上一个动点，连接PB，PC，当PB+PC+PO最小时，求点P的坐标及其最小值.例4（2015•武汉）如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．