《高考调研》衡水重点中学同步精讲精练(数学必修5)1-1-1-1

高考调研第一章解三角形新课标A版·数学·必修5第1页第一章解三角形高考调研第一章解三角形新课标A版·数学·必修5第2页1．1正弦定理和余弦定理高考调研第一章解三角形新课标A版·数学·必修5第3页1．1.1正弦定理(第一课时)高考调研高考调研第4页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5授人以渔课后巩固课时作业高考调研高考调研第5页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5要点1正弦定理(1)在一个三角形中，各边和所对角的的比相等，即：＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)．正弦asinA＝bsinB＝csinC高考调研高考调研第6页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5(2)正弦定理的三种变形①a＝2RsinA，b＝，c＝；②sinA＝a2R，sinB＝，sinC＝；③a∶b∶c＝.2RsinB2RsinCb2Rc2RsinA∶sinB∶sinC高考调研高考调研第7页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5要点2三角形内的诱导公式sin(A＋B)＝；cos(A＋B)＝；tan(A＋B)＝；sin(A＋B2)＝；cos(A＋B2)＝；tan(A＋B2)＝.sinC－cosC－tanCcosC2sinC2cotC2高考调研高考调研第8页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5要点3应用正弦定理解三角形中的常见类型(1)已知三角形的任意两内角与一边，求另一角及另两边；(2)已知三角形的两边与其中一边的对角，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角．高考调研高考调研第9页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修51．在△ABC中，已知两边与其中一边的对角时，怎样确定三角形解的个数？高考调研高考调研第10页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5答：已知△ABC的两边a，b和角A解三角形时，有以下方法：根据三角函数的性质来判断．由正弦定理，得sinB＝bsinAa.当bsinAa1时，则无解；当bsinAa＝1时，则有一解；当bsinAa1时，若a≥b，即A≥B，则B一定为锐角，则有一解；若ab，即AB，则有两解．高考调研高考调研第11页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修52．在△ABC中，由sinAsinB一定能推出AB吗？答：能推出．∵asinA＝bsinB，又∵sinAsinB，∴ab，根据大角对大边这一结论，得AB.高考调研高考调研第12页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5授人以渔高考调研高考调研第13页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5例1(1)在Rt△ABC中，C＝90°，试根据直角三角形中正弦函数的定义，证明：asinA＝bsinB＝csinC.题型一理解正弦定理高考调研高考调研第14页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5【证明】在Rt△ABC中，C＝90°，由正弦函数的定义知：sinA＝ac，sinB＝bc，sinC＝1.∴asinA＝c，bsinB＝c，csinC＝c.∴asinA＝bsinB＝csinC.高考调研高考调研第15页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5(2)在锐角△ABC中，根据下图，证明：asinA＝bsinB＝csinC.高考调研高考调研第16页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5【证明】根据三角函数的定义：sinA＝CDb，sinB＝CDa.∴CD＝bsinA＝asinB.∴asinA＝bsinB.同理，在△ABC中，bsinB＝csinC.∴asinA＝bsinB＝csinC成立．高考调研高考调研第17页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5(3)在钝角△ABC中(不妨设A为钝角)，根据下图证明：asinA＝bsinB＝csinC.高考调研高考调研第18页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5【证明】过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：CDb＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，CDa＝sinB.高考调研高考调研第19页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5∴CD＝bsinA＝asinB.∴asinA＝bsinB.同理，bsinB＝csinC.故asinA＝bsinB＝csinC.高考调研高考调研第20页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5探究1综上可知，对于任意三角形，均有asinA＝bsinB＝csinC，此即正弦定理．高考调研高考调研第21页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5思考题1如图1所示，在Rt△ABC中，斜边c等于Rt△ABC外接圆的直径2R，故有asinA＝bsinB＝csinC＝2R，这一关系对任意三角形也成立吗？请你根据图2和图3对锐角三角形和钝角三角形进行探索，并证明你的结论．高考调研高考调研第22页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5【证明】如图1，当△ABC为直角三角形时，直接得到asinA＝bsinB＝csinC＝2R(a、b、c分别为△ABC中角A、B、C的对边，R为外接圆半径)．如图2，当△ABC为锐角三角形时，连接BO交圆O于D，连接CD.因为∠A＝∠D，则在△BCD中，asinA＝asinD＝2R.高考调研高考调研第23页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5同理，bsinB＝csinC＝2R，即asinA＝bsinB＝csinC＝2R.如图3，当△ABC为钝角三角形时，连接BO交圆O于D，连接CD，∠A＝180°－∠D，所以asinA＝asin180°－D＝asinD＝2R.同理，bsinB＝csinC＝2R，即asinA＝bsinB＝csinC＝2R.综上所述，对于任意△ABC，asinA＝bsinB＝csinC＝2R恒成立．高考调研高考调研第24页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5例2已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.题型二已知两角及一边解三角形高考调研高考调研第25页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5【解析】∵asinA＝csinC，∴a＝csinAsinC＝10×sin45°sin30°＝102.B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵bsinB＝csinC，∴b＝csinBsinC＝10×sin105°sin30°＝20sin75°＝20×6＋24＝5(6＋2)．高考调研高考调研第26页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5探究2已知两角及一边可用正弦定理求出三角形的其他元素，此类题有唯一解．高考调研高考调研第27页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5思考题2在△ABC中，AB＝3，A＝45°，C＝75°，则BC等于()A．3－3B.2C．2D．3＋3高考调研高考调研第28页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5【解析】本题主要考查正弦定理和两角和的正弦公式．sin75°＝sin(45°＋30°)＝6＋24.由正弦定理，得ABsinC＝BCsinA.则BC＝sinAsinCAB＝3sin45°sin75°＝3－3.【答案】A高考调研高考调研第29页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5例3△ABC中，(1)a＝6，b＝2，B＝45°，求C；(2)A＝60°，a＝2，b＝233，求B；(3)a＝3，b＝4，A＝60°，求B.题型三已知两边和其中一边的对角解三角形高考调研高考调研第30页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5【解析】(1)由正弦定理asinA＝bsinB，得sinA＝asinBb＝6×222＝32.又0°A180°，∴A＝60°或120°.∴C＝75°或C＝15°.(2)由正弦定理，得sinB＝bsinAa＝233×322＝22.高考调研高考调研第31页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5∴B＝45°或135°，但B＝135°时，135°＋60°180°，这与A＋B180°矛盾，∴B＝45°.(3)由正弦定理，得sinB＝bsinAa＝4×323＝231.∴这样的角B不存在．高考调研高考调研第32页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5【讲评】已知两边及一角解三角形时，如果已确定三角形有解(如本例(1)(2))，可用“大角对大边”来判定是有一解还是有两解，不必死记硬背某些结论．高考调研高考调研第33页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5探究3已知两边和其中一边的对角，三角形形状一般不确定，用正弦定理求解时，要根据条件判断这个三角形是否有解，有解时一解还是两解，具体方法是：第一种方法：若给出的角是锐角，这个角的对边小于另一边，则有两解(如本例(1))．反之则只有一解(如本例(2))；或给出的角是钝角，且这个角的对边大于另一边，有一解，反之则无解．判断的依据是：同一三角形中大边(角)对大角(边)．高考调研高考调研第34页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5第二种方法：已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：高考调研高考调研第35页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解个数无解一解二解一解一解无解高考调研高考调研第36页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5思考题3(1)已知△ABC中，a＝2，b＝3，B＝60°，那么角A等于()A．135°B．90°C．45°D．30°高考调研高考调研第37页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5【解析】由正弦定理，得asinA＝bsinB，sinA＝asinBb＝2sin60°3＝22.又∵ab，∴AB，故A＝45°，选C.【答案】C高考调研高考调研第38页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5(2)在△ABC中，a＝1，b＝3，A＝45°.则满足此条件的三角形的个数是()A．0B．1C．2D．无数个【答案】A高考调研高考调研第39页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5例4在△ABC中，求证：a－ccosBb－ccosA＝sinBsinA.题型四正弦定理的应用高考调研高考调研第40页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5【证明】因为asinA＝bsinB＝csinC＝2R，所以左边＝2RsinA－2RsinCcosB2RsinB－2RsinCcosA＝sinB＋C－sinCcosBsinA＋C－sinCcosA＝sinBcosCsinAcosC＝sinBsinA＝右边．高考调研高考调研第41页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5探究4正弦定理的变形公式使三角形的边与边的关系和角与角的关系之间的相互转化的动能更加强大，更加灵活．高考调研高考调研第42页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5思考题4在△ABC中，已知a＝22，A＝30°，B＝45°，求b.【答案】4高考调研高考调研第43页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修5课后巩固高考调研高考调研第44页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修51．在△ABC中，A＝178°，B＝1°，则有()A.asinAbsinBB.asinAbsinBC.asinA＝bsinBD．以上结论都不对答案C解析由正弦定理，知asinA＝bsinB.高考调研高考调研第45页第一章1.11.1.1第一课时新课标A版·数学·必修52．在△ABC中，s