清华大学2015年暑期学校测试真题

清华大学2015年暑期学校测试真题1.2ln,3fxxxgxxax（1）求fx在,10mmm上的最小值。（2）对于任意不同两数121,xxee，1212||||fxfxgxgx恒成立，求a的取值范围。【解答】函数单调性的讨论，拉格朗日中值定理（1）考虑fx的导数：'ln1fxx。于是当1xe时，fx单调递减；当1xe时，fx单调递增，只需对(0)mm的大小分类讨论即可：当10me时，在,1mm上fx最小值为11fee；当1me时，在,1mm上fx最小值为lnfmmm。（2不妨假设12xx，1212||||fxfxgxgx221122112211221212|lnln||||lnln||()(())|xxxxxaxxaxxxxxxxaxx11221212lnln()xxxxaxxxx1122112212121212lnlnlnln()()xxxxxxxxaxxaxxxxxx或者在121,xxee恒成立。注意221122111222121212lnln(ln)(ln)()xxxxxxxxxxxxxxxx，为导函数形式，令2lntxxxx，由拉格朗日中值定理，存在12,xx中的一点0x使得0'tx等于上式，故只需求2lntxxxx在1,ee上导数的最大值即可，该最大值在右端取得，同时原式只能无限趋向于该值，所以22ae。同理对另一部分同样计算。于是可得到a的取值范围是22ae或者ln2a。2.一点从A出发，掷一枚骰子，若大于等于5点，则沿平行于BC方向（正反方向均可）移动一步，若小于等于4点，则沿平行于AB方向（正反方向均可）移动一步，设掷*2()nnN次骰子后回到A点的概率为na，回到B点的概率为nb。（1）求1a（2）设掷4次骰子经过C点的次数为X，求X的分布列。（3）是比较2015a，2015b，12的大小（直接写出结果）【解答】数列的递推和归纳法（1）已知每一步沿水平方向走得概率为23，沿垂直方向走得概率为13，两次后回到A点的概率，有两种可能：沿垂直方向上下或者沿水平方向上下。故11122533339a。（2）直接计算可得：25420(0);(1);(2).81981PXPXPX（3）注遗到掷偶数次不可能停在B点或D点。故20150b。由第一问，159a，故掷两次后停在C点概率为49，记作1c。设掷*2()nnN次骰子后回到C点的概率为nc，可以得到递推公式：1154994599nnnnnnaaccac。两式相减得1119nnnnacac，可以归纳得到nnac对任意n成立，因为1nnac，所以12na，可得2015201512ab。3.圆22(3)100xy，圆心为A，点3,0B，作圆上任一点M和B点连线的中垂线，交AM于N。（1）求N的轨迹C方程。（2）y轴上一定点(0,16)D，过D点的直线l交C于PQ两点，DPDQ，求的取值范围。（3）在曲线C上任取两点,PQ，且,PQ不垂直于x轴，线段PQ的中垂线交y轴于点00,y，求证09944y。【解答】解几中的几何法和联立（1）注意到10ANBNANMNAM，因此点N在以A、B为焦点，210a的椭圆上。故N的轨迹C的方程为：2212516xy（2）不妨设P在Q上方。若:0lx，则35。若不然，由图像可知，l离y轴夹角越大，DP越大，DQ越小。则可得315。故的取值范围为315。（3）设12(,)Pxx，22(,)Qxy。则221122221251612516xyxy又因为线段PQ的中垂线交y轴于点00,y，故2222101202()()xyyxyy。将12,xx消去，化简即得：012932yyy。利用1288yy，得到09944y。4.2sin2cos1,0,62122xfxxx（1）求fx的递减区间。（2）若0fxm有两个不同实数根，，求m的取值范围。【解答】三角函数代换（1）化简可得：2sin2cos1sincos621266262sinsincos6324xfxxxxxxx于是易知求fx的递减区间为,42。（2）1362130,,24222fff。于是由图像即得m的取值范围为136222m。5.5个人下棋，平局两人各得1分，赢的人得2分，输的人得0分，下了若干盘后所有人分数两两不同，求至多还没下几盘棋？【解答】极限法，这里用到极限法，先求最小值，再去构造，在组合的极限原理中也有运用5个人,,,,ABCDE分数两两不同，因此他们得分至少为0、1、2、3、4，共10分，每局比赛无论输赢如何分数和均为2分，所以至少比5场，比赛5场并且分数分布为0、1、2、3、4是可以构造的，C胜A，D胜A，E胜A，E胜B，B平D。总共比赛了2510C场，所以至多没下10-5=5场。本文档由华夏园教育提供