社会统计学(卢淑华)-第五章

第五讲正态分布、常用统计分布和极限定理第一节正态分布一、中心极限定理对于任何变量，不管其分布如何，如果把它们几个加在一起，当n大于一定数之后，那么其和的分布必然接近正态分布。二、正态分布（常态分布、高斯分布）1、分布密度曲线特征：1）曲线是单峰，有一个最高点2）曲线在高峰处有一个对称轴。在轴的左右两边是对称的。（对称轴x=µ）3）曲线无论是向左或向右延伸，都会愈来愈接近横轴，但不会和横轴相交，以横轴为渐进线。2、正态分布的众值、中位值和均值三者是重叠的。x3、正态分布的概率密度22212xe（µ和σ为两个变量）一定：µ增大，图形右移；µ减小，图形左µ不变，值改变：σ越小，图形越尖瘦。4、两个参数µ不σ对曲线形态的影响2移。但形状不变。2µ的影响µ增大，图形右移；µ减小，图形左移。但形状不变。σ的影响σ越小，图形越尖瘦Exxdx（数学期望）D5、µ不σ的含义µσx2xdx（标准差）三、正态曲线下的面积我们把正太曲线看做是一种极限的直方图。它的组距甚小，以至中心值顶点的连线已是一条平滑的曲线。而正太曲线下的面积，实际就是由这无数个小直方形拼接而成的。每小块面积=长×宽=xixiPxixi面积的概率分析2xi2xi因此任意两点x1x2曲线下的概率，就是把从x1到x2点所有这些小块面积加起来：x2ix1当xi0，任意两点之间的概率为x2x1取值区间的概率值任意两点x1x2间的概率为：x2x1正态分布的几个典型取值区间的概率值：，之间：0.68272，2之间：0.95453，3之间：0.9973（σ为组距）zzxex第二节标准正态分布xz一、标准分——Z值：Zx2概率密度：122当0，1时e22212因此，标准正态分布可以看作一般正态分布的一个特例。当0，1时，记做N0,1一般正态分布记做N,2，标准分以均值基点，以标准差为度量例某地家庭平均娱乐费支出为120元，标准差为5元，如果某家庭的娱乐费支出为130元，标准分为多少？二、正态分布N,2和标准正态分布N0,1面积乊间的对应关系二者分布图的区别只在于对称轴不同，前者以µ为轴，后者以0为轴。几个典型取值区间P1z10.6827P2z20.9546P3z30.9973例：例1：σ相同而µ不同。学习成绩：甲位于一班，乙位于二班。一班平均成绩80分，二班平均成绩60分，甲成绩80分，乙成绩80分。σ相同，为10，比较二者在班上的成绩。例二：µ相同而σ不同：如果1260110，220，比较甲、乙的成绩。ztd第三节标准正态分布表的使用一、查表方法：附表4，1、3、5、7列z的不同取值，2、4、6、8列给出的是对应式的面积zet2212图示例：1、已知ξ服从标准正态分布N0,1，求1）P1.32）P1.33）P1.32.32、ξ满足N0,1，P0.05，求λ值。3、ξ满足N50,52，求P612将其称为自由度为K的X2分布，记做X2(k)第四节常用统计分布一、X2分布（卡方分布）1、设随机变量1，2，k相互独立，且都服从N(0,1)，其平方和：x21222k2的分布密度为：22k20kxk21ek1k2x当x0当x0卡方分布图分布图形：偏左侧分布，随自由度的增加，图形渐趋对称。xi1k量：仍然服从自由度为k的X2的平方分布。卡方分布性质性质1如果随机变量1，2，……k相互独立，2i1222性质2：从自由度为K1与K2的X2分布，则其和服从自由度为K1+K2的X2分布。如果随机变量和独立，并且分别服例题已知：k=10，a=0.05，求X20.05(10)=?已知：k=9，a=0.025，求满足p(X2＜X21-a)=a中的X21-a1kk122zk二、t分布（学生分布）的分布密度为：称之为：自由度为k的t分布1、设随机变量与独立，且服从标准正态分布，服从自由度为K的X2的分布，则随机变k量tk12k2tzt分布图2、性质：t分布的分布曲线是关于z=0对称的，当k=时，t分布将趋于标准正态分布（当k30时，分布曲线就差不多相同了）。正态分布是其极限分布。3、查表，对不同自由度k及不同的数α（0α1)给出满足等式t的tα值例题已知：k=10，a=0.05，求t0.05(10)=则随机变量Fk的分布密度为：k1k2k1k2k1k222zk1zk2zk2三：F分布，k1为第一自由度（分子），k2为第二自由度（分母）。1、设随机变量与独立，且都服从X2分布，自由度分别为k1及k2。k12Fzk12k1122k1k2220当Z0当z0Fk1,k2dxxFFpF2、F分布的性质：为非对称分布。3、查附表，对不同自由度（k1，k2）及不同的数α（0α1)，给出了满足等式F的Fα值另一性质已知：a=0.05，求：F0.95(1015)1Fk2,k1F1k1,k2第五节大数定理不中心极限定理1、大数定理：研究在什么条件下，随机事件可以转化为不可能事件或必然事件，即阐明大量随机现象平均结果稳定性的一系列定理。2、中心极限定理：研究在什么条件下，随机变量之和的分布可以近似为正态分布，称中心极限定理。一、切贝谢夫丌等式：定义：如果随机变量，有数学期望E和D方差，则不论的分布如何，对于任何数，都可以断言，和E的绝对离差大于等于的概率，不超过D2，即D2PED2或PE1limpp1二、贝努里大数定理1、定义：设m是n次独立观察中事件A出现的次数，而p是事件A在每次观察中出现的概率。那么，对于任何一个正数，有mnn2、含义：在相同条件下进行多次观察时，随机事件的频率mn有接近其概率的趋势。意义：为用抽样成数来估计总体成数p奠定了理论基础。p1有：limn三、切贝谢夫大数定理3、实际:意义可以用抽样的均值做为总体均n1、定义：设随机变量1，2…是相互独立服从同一分布，并且有数学期望Ei及方差Di2，那么对于任何一个正数，nn为1，2…n个随即变量的平均值2、含义：当实验次数n足够大时，n个随机变量的平均值n与单个随机变量的数学期望的差可以任意的小，这个事实以接近于1的很大概率来说是正确的，即n趋近于数学期望量，不管其分布如何，只要DlimPnx2ted四、中心极限定理1、表述方式：设1，2，…，k为独立同分布的随机变2ii存在，则对x有xtn22n12、中心极限定理的意义1）对随机变量的原有分布不做要求，因此，从理论上说明了正态分布的重要性2）它为样本容量的确定和大样本(n大于等于50)情况下的统计推论提供了理论依据。3）在社会调查中使用价值广。4）在抽样调查中有着重要意义。