广西科技大学时间序列分析计算题复习题

第1页（共6页）广西科技大学2013—2014学年第2学期时间序列分析计算题复习题1.设时间序列}{tX来自)1,2(ARMA过程，满足tteBXBB)4.01()5.01(2,其中}{te是白噪声序列，并且2)(,0)(tteVareE，（1）判断)1,2(ARMA模型的平稳性。（5分）（2）利用递推法计算其一般线性过程表达式的前三个系数：0，1，2。（5分）解答：（1）其AR特征方程为05.012xx，特征根为ix111，在单位圆外，故平稳！也可用平稳域法见（P52公式（4.3.11））。（2)由P57公式（4.4.7)知道9.04.15.004.11)4.0(1112221110。2.某国1961年1月—2002年8月的16~19岁失业女性的月度数据经过一阶差分后平稳（N＝500），经过计算样本其样本自相关系数}ˆ{k及样本偏相关系数}ˆ{kk的前10个数值如下表k12345678910kˆ-0.470.06-0.070.040.000.04-0.040.06-0.050.01kkˆ-0.47-0.21-0.18-0.10-0.050.02-0.01-0.060.010.00（1）利用所学知识，对}{tX所属的模型进行初步的模型识别。（5分）（2）对所识别的模型参数和白噪声方差2e给出其矩估计。（5分）解答：（1）样本自相关系数1阶截尾，样本偏相关系数拖尾，)1,1,0(ARIMA（2）由于)1,1,0(ARIMA模型有21111，7415.047.0247.0411ˆ2ˆ411ˆ111645.0ˆ11ˆ212e。3.设}{tX是二阶滑动平均模型)2(MA,即满足2ttteeX，其中}{te是白噪声序列，并且2)(,0)(tteVareE，第2页（共6页）（1）求}{tX的自协方差函数和自相关函数。（2）当8.0时，计算样本均值4/)(4321XXXX的方差。解答：（1）其他,02,0,122222kkEXXEkktktttktt其他,02,10,12kkk（2）41111614224302114321VarXXXXVar2261.0)464.08.01(4.设}{te是正态白噪声序列，并且2)(,0)(tteVareE，时间序列}{tX来自118.0tttteeXX，问模型是否平稳？为什么？解答：该模型是平稳的，因为其AR特征方程08.01x的根为1.25，大于1。5.假定Acme公司的年销售额（单位：百万美元)符合AR(2)模型：,5.01.1521tttteYYY其中22e。（a）如果说2005年、2006年和2007年的销售额分别是900万美元，1100万美元和1000万美元，预测2008年和2009年的销售额。（b）证明模型里的1.11。（c）计算问题（a)中2008年预测的95%预测极限。（d）如果2008年的销售额结果为1200万美元，更新对2009年的预测。解答:(a)应用P142公式(9.3.28)得2006200720075.01.15)1(ˆYYY5+1.1(10)–0.5(11)=10.5（百万美元）2007200720075.0)1(ˆ1.15)2(ˆYYY5+1.1(10.5)–0.5(10)=11.55（百万美元）(b）由课本54页公式(4.3.21),10，1.11011。（c)由课本第140页公式（9.3.15）知道：)...1())((2122212tetleVar，2008年预测的95%预测极限为)))1(()1(ˆ,))1(()1(ˆ(2007025.0120072007025.012007eVarzYeVarzY，这里20082007200820071(ˆ)1(eYYe），故2))1((22007eeVar，代入后简单计算得2008年预测的95%预测极限为（7.67,13.33）。（d)由148页更新方程（9.6.1）知)]1(ˆ[)1(ˆ)(ˆ11ttlttYYlYlY，所以2.13)5.1012(1.155.11)]1(ˆ[)2(ˆ)1(ˆ20072008120072008YYYY（百万美元）第3页（共6页）6.设}{tX的长度为10的样本值为0.8,0.2,0.9,0.74,0.82,0.92,0.78,0.86,0.72,0.84，试求（1）样本均值x；（2）样本的自协方差函数2,1ˆˆ和自相关函数2,1ˆˆ；（3)对)2(AR模型参数给出其矩估计，并写出模型的表达式。（1）样本均值x。0.758（2）样本的自协方差函数值21ˆ,ˆ和自相关函数值21ˆ,ˆ。注意knxxxxkntkttk1ˆ，而0ˆˆˆkk(这里10n，具体计算略过）（3）对AR(2)模型参数给出其矩估计，并且写出模型的表达式。由Yule-Walker方程2112121118649.0ˆˆ1ˆ1ˆ1121，080908.0ˆ1ˆˆˆ21212283803.0ˆˆˆ1ˆ210ttttxxx21080908.018649.083803.07.设}{tX服从)1,1(ARMA模型：116.08.0tttteeXX，其中01.0,3.0100100eX。（1）给出未来3期的预测值；（2）给出未来3期的预测值的%95的预测区间（96.1025.0z）？。解答：（1）234.06.08.01ˆ100100100XX1872.0234.08.01ˆ8.02ˆ100100XX14976.01872.08.02ˆ8.03ˆ100100XX（2）应用延迟算子B表达式，我们有tttBBBBX216.02.018.016.01。由（P143公式（9.3.38））知道1022][ljjetleVar，1l。因为,16.0,2.0,1210故有0025.0]1[100eVar，0026.0]2[100eVar，002664.0]3[100eVar。所以未来l期的预测值的%95的预测区间为:leVarzlx100025.0100ˆ。故未来3期的预测值的%95的预测区间为：第4页（共6页）101)0025.096.1234.0,0025.096.1234.0(101（0.136，0.332）102（0.087，0.287）103（-0.049，0.251）。8.设平稳时间序列}{tX服从)1(AR模型：ttteXX11，其中}{te是白噪声序列，并且2)(,0)(tteVareE，证明：2121)(tXVar。证明：由题意ttteXX11，两边求方差得)()(11ttteXVarXVar)()(121tteVarXVar（因为te与1tX相互独立）221)(tXVar（因为tX平稳）整理即得2121)(tXVar。9.设平稳时间序列}{tX服从)2(AR模型：tttteXXX2211，其中}{te是白噪声序列，并且2)(,0)(tteVareE，证明其偏自相关系数满足：3022kkkk。证明：因为)2(AR模型偏自相关系数2阶截尾，即当3k时，0kk。（其一般证明见课本P80页）这里仅证明222。事实上，22满足如下Yule-Walker方程：222211122121（见课本P81公式（6.2.8）），其中2,1分别为该)2(AR模型前2阶自相关系数。由课本P52页的公式（4.3.14）和P53页的公式（4.3.15）知：2212222111)1(1。于是，解Yule-Walker方程得2221221221222121222)1(1)1(1)1(1。10.设时间序列}{tX服从)1,1(ARMA模型：1125.05.0tttteeXX，其中}{te是白噪声序列，并且2)(,0)(tteVareE，证明其自相关系数满足：25.0127.0011kkkkk。解：方程两边乘以1tX再取数学期望得)25.0()()5.0()(111211ttttttteXEeXEXEXXE，第5页（共6页）整理得20125.05.0(1)方程两边求方差得)25.05.0()(11tttteeXVarXVar)25.0,5.0(2)25.0()(25.01111tttttteeXCoveeVarXVar整理得220025.0)1611(25.0201213（2）将（2）代入到（1）可得：21247，所以27.0267011。注意到1000，而当2k时，方程两边乘以ktX再取数学期望可得)25.0()()5.0()(11tkttktkttktteXEeXEXXEXXE整理得15.0kk（3）在（3）式两边同除0，即得15.0kk，2k。证毕！11.设时间序列}{tX服从AR(1)模型：ttteXX1，其中}{te是白噪声序列，2)(,0)(etteVareE)(,2121xxxx为来自上述模型的样本观测值，试求模型参数2,e的极大似然估计。解：依题意2n，故无条件平方和函数为212221212212222)1()()(xxxxxxxSt易见(见p113式(7.3.6)）其对数似然函数为)(21)1log(21)log()2log(),(2222Seee所以对数似然方程组为0),(0),(222eee，即02122222122212221eexxxxxx。解之得22212222122221212ˆ2ˆxxxxxxxx。12.对下列每个ARIMA模型，求)(tYE和)(tYVar。（a)1175.03tttteeYY（b)1211.025.025.110ttttteeYYY解：（a)原模型可变形为175.03ttteeY,注意到te为零均值方差为2e的白噪声序列。所以有222111625)75.01()75.03()(3)75.03()(eetttttteeVarYVareeEYE（b)原模型可变形为111.025.010tttteeYY,因此}{tY为一个平稳可逆的)1,1(ARMA模型。同时注意到te为零均值方差为2e的白噪声序列，所以我们有)(25.010)1.025.010()(11tttttYEeeYEYE（平稳性）第6页（共6页）34025.0110)(tYE另一方面，)1.025.010()(11tttteeYVarYVar)1.0,25.0(