61线性分组码

2020/4/1316.3.1一般概念6.3.2线性分组码的监督方程和监督矩阵6.3.3线性分组码的生成矩阵6.3.4线性分组码的编码6.3.5线性分组码的译码6.3.6汉明码6.3线性分组码2020/4/132一、名词解释线性分组码：通过预定的线性运算将长为k位的信息码组变换成n长的码字(nk)。由2k个信息码组所编成的2k个码字集合，称为线性分组码。码矢：一个n长的码字可以用矢量来表示C=(Cn－1,Cn－2,…,C1,C0)所以码字又称为码矢。(n,k)线性码：信息位长为k，码长为n的线性码。编码效率/编码速率/码率：R=k/n。它说明了信道的利用效率，R是衡量码性能的一个重要参数。6.3.1一般概念2020/4/133线性分组码的编码：线性分组码的编码过程分为两步：把信息序列按一定长度分成若干信息码组，每组由k位组成；编码器按照预定的线性规则(可由线性方程组规定)，把信息码组变换成n长(nk)码字，其中(n－k)个附加码元是由信息码元的线性运算产生的。信息码组长为k位，若有2k个不同的信息码组，则有2k个码字与它们一一对应。2020/4/134线性分组码是前向纠错码，它可以在无需重发的情况下检测出有限个错码，并加以纠正。当其他改善手段（如增加发射功率或使用复杂的解调器）不切实际时，分组码可以用来改善通信系统的性能。在分组编码器中，k个信息位被编成n位，从而对k个信息位增加了n-k个冗余位，而冗余位的作用是检测和纠正错码。2020/4/135(1)监督方程编码就是给已知信息码组按预定规则添加监督码元，以构成码字。在k个信息码元之后附加r(r=n－k)个监督码元，使每个监督元是其中某些信息元的模2和。举例：k=3,r=4，构成(7,3)线性分组码。设码字为(C6,C5,C4,C3,C2,C1,C0)C6,C5,C4为信息元，C3,C2,C1,C0为监督元，每个码元取“0”或“1”监督元可按下面方程组计算6.3.2线性分组码的监督方程和监督矩阵)1.5(4505614562463CCCCCCCCCCCCC2020/4/136监督方程的一般定义：通过已知的信息元得到监督元规则的一组方程称为监督方程。由于所有码字都按同一规则确定，又称为一致监督方程。由于监督方程是线性的，即监督元和信息元之间是线性运算关系，所以由线性监督方程所确定的分组码是线性分组码。[参见以下(7,3)分组码的例子]6.3.2线性分组码的监督方程和监督矩阵2020/4/137(2)举例若已知信息码组为(101)，即C6=1,C5=0,C4=1代入方程(5.1)得：C3=0,C2=0,C1=1,C0=1由信息码组(101)编出的码字为(1010011)。其它7个码字如表5.1。表5.1(7,3)分组码编码表信息组对应码字00000000000010011101010010011101101110101001001110101101001111011010011111110100)1.5(4505614562463CCCCCCCCCCCCC00000000000000000000451562456346CCCCCCCCCCCCC6.3.2线性分组码的监督方程和监督矩阵2020/4/138)3.5(1000110010001100101110001101H00000C)2.5(0000100011001000110010111000110101234560123456CCCCCCCCCCCCCC令(3)监督矩阵为了运算方便，将式(5.1)监督方程写成矩阵形式，得式(5.2)可写成HCT=0T或CHT=0CT、HT、0T分别表示C、H、0的转置矩阵。6.3.2线性分组码的监督方程和监督矩阵2020/4/139系数矩阵H的后四列组成一个(4×4)阶单位子阵，用I4表示，H的其余部分用P表示)5.5(IPH1000010000100001I110011111101P43437434),(所以6.3.2线性分组码的监督方程和监督矩阵2020/4/1310推广到一般情况：对(n,k)线性分组码，每个码字中的r(r=n－k)个监督元与信息元之间的关系可由下面的线性方程组确定)6.5(000022110222212101212111ChChChChChChChChChrnnrnrnnnnnn6.3.2线性分组码的监督方程和监督矩阵2020/4/1311令上式的系数矩阵为H，码字矩阵（行阵列）为C矩阵，简称监督矩阵。线性分组码的一致监督为称或可写成式),(H)8.5(0HC0CH)6.5(C)7.5(H11110211212222111211knCCChhhhhhhhhrTrnnTrTnnrnnnrnrrnnnr6.3.2线性分组码的监督方程和监督矩阵2020/4/1312(4)监督矩阵特性对H各行实行初等变换，将后面r列化为单位子阵，于是得到下面矩阵，行变换后所得方程组与原方程组同解。监督矩阵H的标准形式：后面r列是一单位子阵的监督矩阵H。H阵的每一行都代表一个监督方程，即H阵的r行代表了r个监督方程，也表示由H所确定的码字有r个监督元。)9.5(100010001H212222111211rnrrkknrppppppppp6.3.2线性分组码的监督方程和监督矩阵2020/4/1313H的标准形式还说明了相应的监督元是由哪些信息元决定的。例如(7,3)码的H阵的第一行为(1011000)，说明此码的第一个监督元等于第一个和第三个信息元的模2和，依此类推。6.3.2线性分组码的监督方程和监督矩阵2020/4/1314(1)线性码的封闭性线性码的封闭性：线性码任意两个码字之和仍是一个码字。定理：设二元线性分组码CI(CI表示码字集合)是由监督矩阵H所定义的，若U和V为其中的任意两个码字，则U+V也是CI中的一个码字。[证明]：由于U和V是码CI中的两个码字，故有HUT=0T，HVT=0T那么H(U+V)T=H(UT+VT)=HUT+HVT=0T即U+V满足监督方程，所以U+V一定是码字集合CI中的一个码字。6.3.3线性分组码的生成矩阵2020/4/1315(2)线性分组码的生成矩阵的由来：在由(n,k)线性码构成的线性空间Vn的k维子空间中，一定存在k个线性独立的码字：g1,g2,…,gk,。码字集合CI中，其它任何码字C都可以用这k个码字的某种线性组合来表示，即6.3.3线性分组码的生成矩阵阶矩阵。是一个是待编码的信息组。写成矩阵形式得）（nkmmmmmmkimmmmkknkkkkknikkkGm)11.5(GmgggC1,1,0),2(GF10.5gggC0211210211022112020/4/1316G中每一行gi=(gi1,gi2,…,gin)都是一个码字；对每一个信息码元m来说，都可以通过矩阵G求得其对应的码字。生成矩阵的定义：由于矩阵G生成了(n,k)线性码中的任何一个码字，称矩阵G为(n,k)线性码的生成矩阵。(n,k)线性码的每一个码字都是生成矩阵G的行的线性组合。)11.5(gggG21222211121121knkknnknkggggggggg6.3.3线性分组码的生成矩阵2020/4/1317标准生成矩阵：通过行初等变换，将G化为前k行和k列是单位子阵的标准形式6.3.3线性分组码的生成矩阵11121()21222()12()100010GIQ(5.12)001nknkknkkrkkknkqqqqqqqqq2020/4/1318线性系统分组码：用标准生成矩阵Gk×n编成的码字，前面k位为信息数字，后面r=n－k位为校验字，这种信息数字在前校验数字在后的线性分组码称为线性系统分组码。当生成矩阵G确定之后，(n,k)线性码也就完全被确定了，只要找到码的生成矩阵，编码问题也同样被解决了。[参见下面有关（7，4）线性码例子]6.3.3线性分组码的生成矩阵图6.2.1系统码的码字结构信息数字校验数字2020/4/1319(3)举例：已知一个(7,4)线性码的生成矩阵G如下图示，当输入信息码元为1010时，试求输出的码字。6.3.3线性分组码的生成矩阵)1010011(11010000110100111001010100010101)1010(11010000110100111001010100017441714174GmCmG，则若由矩阵乘法规则可知：C=mG的结果，就是矩阵G中，与m中为“1”的元素相对应的行按位模2加的结果。2020/4/13206.3.3线性分组码的生成矩阵练习：已知某线性分组码的生成矩阵为试问：（1）n=?k=?,该码组集合中的码字有多少？（2）若信息码元m分别是1100和1111时,写出其对应的输出码字。10000110100101G001011000011112020/4/13216.3.3线性分组码的生成矩阵14171447m(1100)10000110100101CmG1100(1100110)00101100001111若，14171447m(1111)10000110100101CmG1111(1111111)00101100001111若，（1）n=7,k=4,共有16个码字。2020/4/1322(4)生成矩阵与监督矩阵的关系由于生成矩阵G的每一行都是一个码字，所以G的每行都满足HCT=0T，则有HGT=0T或GHT=0结论：线性系统码的监督矩阵H和生成矩阵G之间可以直接转换。6.3.3线性分组码的生成矩阵)14.5(I)Q(HQIGP)Q()P(Q0Q)P(I)P(QIIPQIHGIPHQIGrTrkSrkkSkrTrkTkrrkrkrkTkrrTkrrkkTrkrrkkTSSrkrSrkkS或所以，2020/4/1323举例：1、已知线性系统码的监督矩阵，写出其生成矩阵。6.3.3线性分组码的生成矩阵(7,4)(7,4)1110100H0111010110100110001010100111G00101100001011可直接出：2020/4/13246.3.3线性分组码的生成矩阵(7,4)(7,4)10001010011G001011000011111100H110101101001０１０１０１１０举例：2、已知线性系统码的生成矩阵，写出其监督矩阵。2020/4/13256.3.3线性分组码的生成矩阵练习题：已知(7,3)线性分组码,其码字表示为:C=(C6,C5,C4,C3,C2,C1,C0)C6,C5,C4为三位信息元，C3,C2,C1,C0为四位监督元，可由下列方法产生:试求：（1）生成矩阵G和监督矩阵H；（2