第3章-解线性方程组的数值解法3-迭代法

3.4向量和矩阵的范数为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，我们需要对Rn(n维向量空间)中的向量或Rnxn中矩阵的“大小”引入一种度量，——向量和矩阵的范数。向量和矩阵的范数在一维数轴上，实轴上任意一点x到原点的距离用|x|表示。而任意两点x1，x2之间距离用|x1-x2|表示。向量和矩阵的范数而在二维平面上，平面上任意一点P(x,y)到原点的距离用表示。而平面上任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离用表示。推广到n维空间，则称为向量范数。||22OPyx22122121)()(||yyxxPP向量范数3.4.1,||||,:1)||||00||||0;2)||||||||||,;3),,||||||||||||||||nnRkkkRRxxxxxxxxxxyxyxy设任一向量按某一确定的法则对应于一非负实数且满足非负性：，当且仅当时，齐次性：三角不等式：对任意都有，则称为向量的范数。常见的向量范数|}{|max||||)(),()||(||||||||||),...,,(12121211221121iniTniiniiTnxxxxxxxxxxxxxx设向量向量范数性质nnnnnRMmMmxxxRRxxxxxxyxyxyx||||||||||||,,,||||,||||R3,...,,||||,2121使得则必存在两正数中定义的任意两种范数对性质的一致连续函数。是分量则向量范数设性质。有对任意性质，向量范数性质等价性质：niiininiixxxnnnnnxxxxxxxxxxx11112111|||}{|max||||||1||||1:||||||||||||)3||||||||||||)2||||||||||||1)1例如向量的收敛性()()()()()****1212*()***()3.4.2{}(1,2,...),{,,...,},(,,...,)lim(1,2,...,){},limlim||||0{}||||nkkkkkTTnnnkiikkkkkkkRkxxxxxxRxxinxxxxxxxxxx定义设中一向量序列其中如果存在满足则称向量序列依次（依座标）收敛到记作如果有则称向量序列依范数*x收敛到),...2,1(lim0maxlim0||||lim||||}{,...)2,1}({1.4.3*)()(1**)(*)(nixxxxkikikikinikkkkkxxxxxx）（事实上由。收敛到数依范的充分必要条件是坐标收敛到依向量序列定理3.4.2矩阵范数3.4.3,||||,:1):||||00||||0;2)||||||||||;3)||||||||||||,,;4),||||nnnnnnnnARAAAAkAkAkRABABABRABABABRAR定义设任意若按某一确定的法则对应于一非负实数且满足非负性，当且仅当时，齐次性：，三角不等式：相容性：，，则称为的一种范数。相容范数是相容的。与此向量范数则称该矩阵范数如果的一种范数和分别为设定义||||||||||||||||||||,||||||,||4.4.3xAxAAxRRAxnnn算子范数且称其为算子范数。上的矩阵范数为则定义向量范数上并在设定理,||||max||||||||max||||||,||,,2.4.31||||0nnxxnnnnRAxxAxAxRRARx算子范数。只有可能，因为则若显然成立，定义的四个条件。所以下面只要验证范数的一个对应法则。到定义了所以上一定能达到最大值在有界闭集的连续性知，证明：由向量范数0,00||||,0||||0||||||||max||||)1||||}1{||||||||0AAAAARRAAAAxxxxxxxxxnn||||||)||||(||||||||||||||||||||||||)(||||||||||||||||||||||max||||)3||||||||||||||||max||||||||max||||)2000xxxxxxxxxxxxxxxBABABABARAAAAAkAkkAkAnxxx于是，则由算子范数1||||max||||,,||||||||||||||||||||||||||)(||max||||||||||||||||||)(||010xxIxIIRBAABBAxxBABABAxxBAnnx则为单位矩阵中任何矩阵算子范数对推论。同理可证即有所以对常见的矩阵范数njijniTniijnjpnnnnnijaAAAAaApRRaAxx11max2111||max||||)(||||2||||||1),2,1(,)(3.4.3max范数：范数：范数：相容的矩阵范数是则于向量范数，设矩阵定理常见的矩阵范数。则非奇异又若则为对称矩阵设推论里德范数。为矩阵的谱范数或欧几为矩阵的行范数，为矩阵的列范数，一般称范数：||)(||||||,|,)(|||||,)(1min21max22121112AAAAAAAAAaAFnjniijF对称矩阵范数||)(||||)(||||||)()(0,)(|)(||||||)(|)()(||||1min1max211-1max22max2maxmax22AAAAAAAAAAAAAAAATT得由非奇异，则又因为所以有知证明：由例题5]4)2()1(2[||||844.4466.23||||534.1,466.2301710108||1710108421241226}4|2||,1|2max{||||5}4|1||,2|2max{||:||||||),2,1(||||,42121.4.32122222211FTTFpAAAAIAAAAApAA。，故解得由因为解及求设矩阵例3.4.3矩阵的谱半径和矩阵序列收敛性关系。的任何一种范数有某种但可能与的一种范数不是的谱半径矩阵的谱半径。为矩阵则称征值的特为矩阵设定义AAAAAAA,...,n),(iλinii,)(|}{|max)(,215.4.31例题1221242102433,33()33AIAA求矩阵的谱半径。解：由得：特征值。所以谱半径和矩阵序列的收敛性。的任意性，有由，故有由于则的任一特征对，即为矩阵）设（证明。则若的任意一种算子范数为这里则设定理AAAAAAAAAAAAAAARAxxxxxxxxTnn}max{)(0,,1||||)(,)2(;||||||,||)()1(,4.4.32)(,5.3.3||||)(5||||,844.4||||,6||||,5||||,33)(,4212)(|)(|||||)2(**22max2AARAAAAAAAAAAAAAAnnpFT，满足则必存在算子范数为任意指定的小正数，设定理。，所以显然。，故因为矩阵序列的收敛性。收敛于依范数则称矩阵序列如果记作收敛到矩阵则称矩阵序列如果及矩阵设矩阵序列定义AAAAAAAAnjiaaaAkaAkkkkkkijkijknnijnnkijk||||}{0||||limlim,}{),...,2,1,(lim,)(),,...,2,1()(6.4.3)()(。的充分必要条件是则设定理。收敛于矩阵依范数的充分必要条件是收敛到矩阵，矩阵序列与向量序列收敛性类似1)(0lim,6.3.4}{),...,2,1(}{AkAkRAAAAnkAnnkk3.5病态方程组与矩阵的条件数。该方程组的精确解为解什么样的变化解将产生项有微小扰动试分析系数矩阵和右端设线性方程组例Txxx)1,1(?,97.199.198.099.099.011.5.3213.5.1病态方程组与扰动方程组的误差分析TxxxxxxxA)5.48,50(97.198.099.099.199.00001.197.199.198.099.099.00001.10000001.0)1(~212121，解得所以即动设系数矩阵有微小的扰病态方程组与扰动方程组的误差分析Txbxx)99.0,97.2(9701.19899.198.099.099.010001.00001.0)2(~21解得则若右端有微小变动病态方程组与扰动方程组的误差分析T)3(~21)005.148,5.148(0197.19989.198.099.099.00001.1,,,xbxxAbA解得则扰动若同时对病态方程组与扰动方程组的误差分析。）（，）（；）（现计算相对误差：，005.149||||||||3;99.1||||||||105||||||||25.49||||||||105||||||||1321)3(~)2(~5)1(~5xxxxbxxxxxAAA,,iΔ(i)~(i)~病态方程组与扰动方程组的误差分析样的方程为病态方程。称这解发生很大的变化有微小变化时阵和右端项显然上述方程在系数矩,,病态方程组扰动方程由于计算机字长限制，在解AX=b时，舍入误差是不可避免的。因此我们只能得出方程的近似解。是方程组（A+△A）x=b+△b(1)~x~x在没有舍入误差的解。称方程（1）为方程Ax=b的扰动方程。其中△A，△b为由舍入误差所产生的扰动矩阵和扰动向量。当△A，△b的微小扰动，解得（1）的解与Ax=b的解x的相对误差不大称为良态方程，否则为病态方程。扰动方程组的误差界。所以得又因为从而有由既有一个扰动产生则解有一个小的扰动中设，bbxxxbbxbxbxbbxxxxbbbxAAAAAAAA111||||||||)()1(,。所以得从而有由既有一个扰动产生则解有一个小的扰动中设，AAAAAAAAAAAAAAxxxxxxxxbxbxxxxbx111||||||||)())(()2(,。时得当从而即有由既有一个扰动产生则解都有一个小扰动时和中设，)(1||||1||||||||)())(()3(11111111,AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAbAAbbxxxbxxxbxxxbxbxbbxxxxbx||||||||||||||||)(1)(||||||||0||||||||)(||||||||0||)||||||||||||||||(||||||||)(1)(||||||||||,||||||)(,1||||||||,)(1.5.311~AAAAAcondAcondxxbbbAcondxxAbbAAAAAcondAcondxxAAAcondAAAAxxxbAxxRAbbxnn时当时当则如果的解是扰动方程组精确解。的是方程组且非奇