圆锥曲线-应用题专练

如何解答圆锥曲线的应用题例1设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m万千米和m34万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32和，求该彗星与地球的最近距离。分析本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离，一般的思路为：由直线与椭圆的关系，列方程组解之；或利用定义法运用椭圆的第二定义求解。同时，还要注意结合椭圆的几何意义进行思考。仔细分析题意由椭圆的几何意义可知：只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点时，彗星与地球的距离才达到最小值即为ca，这样就把问题转化为求a,c和ca。解：建立如图所示直角坐标系，设地球位于焦点F（－c，0）处，椭圆的方程为1byax2222当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3时，由椭圆的几何意义可知，彗星只能满足∠OFA=3（或∠3'OFA）。作AB⊥OF于B，则m32|FA|21|FB|。由椭圆的第二定义可得：②①)m32cca(acm34)cca(acm22两式相减得m32acm31，即a=2c。代入①得c23)cc4(21mm32c因此，m32cca评述：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨迹一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个端点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是ca，另一个是ca。（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。例2根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3m，宽1.6m。现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持距中线0.4m的距离行驶。已知拱口AB宽恰好是拱高OC的4倍，若拱宽为am，求能使卡车安全通过时a的最小正整数值。分析根据问题的实际意义，卡车通过隧道时应以卡车沿着距隧道中线0.4m到2m间的道路行驶为最佳路线，因此，卡车能否安全通过，取决于距隧道中线2m（即在横断面上距拱口中点2m）处隧道的高度是否够3m，据此可通过建立坐标系，确定出抛物线的方程后求得。解：如图，以拱口AB所在直线为x轴，以拱高OC所在直线为y轴建立直角坐标系，由题意可得抛物线的方程为：)4ay(p2x2∵点A（2a，0）在抛物线上∴)4a0(p2)2a(2，得2ap∴抛物线方程为)4ay(ax2取x=24.06.1，代入抛物线方程，得)4ay(a22，a416ay2。由题意知y3，即3a416a2，而a0，则016a12a2，解得1326a。使卡车安全通过时a的最小正整数为14。评述：本题的解题过程可归纳为两步：①根据实际问题的意义，确定解题途径，得到距拱口中点2m处y的值；②由y3通过解不等式，结合问题的实际意义和要求得到a的值，值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中经常用到。例3某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP或BP运到P处（如图所示）。已知PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土最省工。分析首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：（1）沿AP到P较近；（2）沿BP到P较近；（3）沿AP、BP到P同样远。显然，第三类点是第一、二类的分界点，设M是分界线上的任意一点，则有|PB||MB||PA||MA|。于是|PB||MB||MA|－|PA|=150－100=50。从而发现第三类点M满足性质：点M到点A与到点B的距离之差等于常数50，由双曲线定义知，点M在以A、B为焦点的双曲线的右支上，故问题转化为求此双曲线的方程。解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立如图直角坐标系，设M（x,y）是沿AP、BP运土同等距离的点，则|PB||MB||PA||MA|∴50|PA||PB||MB||MA|在△PAB中，由余弦定理得：1750060cos|PB||PA|2|PB||PA||AB|222，且50|AB|。由双曲线定义知点M在以A、B为焦点的双曲线右支上，设此双曲线方程为1byax2222（a0，b0）2222bac17500c450a2，解之得3750b625a22∴点M轨迹是)25x(13750y625x22在半圆内的一段双曲线弧。于是运土时将双曲线弧左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工。评述：（1）本题是不等量与等量关系问题，涉及到分类思想，通过建立直角坐标系，利用点的集合性质，构造圆锥曲线模型（即分界线）从而确定出最优化区域。（2）应用分类思想解题的一般步骤：①确定分类的对象；②进行合理的分类；③逐类逐级讨论；④归纳各类结果。