4.2复变函数幂级数

上页下页铃结束返回首页§4.2幂级数1、幂级数的敛散性2、幂级数的收敛半径的求法3、幂级数的和函数的解析性4、例题5、小结上页下页铃结束返回首页1.1幂级数的定义：20120()()()nnnczacczacza4.3形式的复函数项级数称为幂级数,其中c0,c1,c2,…,a都是复常数.20121.nnnczcczcz幂级数是最简单的解析函数项级数,为了搞清楚它的敛散性,先建立以下的阿贝尔(Abel)定理.1、幂级数的敛散性具有若令a=0则以上幂级数还可以写成如下形式上页下页铃结束返回首页定理4.10：如果幂级数(4.3)在某点z1(≠a)收敛,则它必在圆K:|z-a||z1-z|(即以a为圆心圆周通过z1的圆)内绝对收敛且内闭一致收敛.证:设z是所述圆内任意点.因为1|()|nnczaM(n=0,1,2,…),111|()||()()|||nnnnnnzazaczaczaMzaza注意到|z-a||z1-a|,故级数11nnzaMzaa10nnncza收敛,它的各项必然有界,即有正数M,使收敛上页下页铃结束返回首页11|()|||()||nnnnzaczaMMzaza其次,对K内任一闭圆0()nnncza0()nnncza在圆K上有收敛的优级数因而它在K上一致收敛.再由定理4.8,此级数必在圆K内内闭一致收敛.01()||nnMza在圆K内绝对收敛.1:Kzaoza上的一切点来说,有:a上页下页铃结束返回首页推论4.11若幂级数(4.3)在某点z2(≠a)发散,则它在以a为圆心并且通过点z2的圆周外部发散.az1z2上页下页铃结束返回首页xya1z.2z.R收敛圆收敛半径幂级数0nnnzc的收敛范围是以a点为中心的圆域.收敛圆周特别,.0时，收敛圆缩为一点R.R时，收敛域为整个复平面上页下页铃结束返回首页与幂级数相对应，作实系数幂级数其中x为实变数.则有定理4.11设的收敛半径是R，那么按照不同情况，我们分别有：n0n0n0n0n0n0(1)0z-zRc(z-z)z-zRc(z-z).R如果，那么当时，级数绝对收敛当时，级数发散00(2)().nnnRczz如果，那么级数在复平面上每一点绝对收敛000().nnnRczz0(3)如果，那么级数在复平面上除去zz外发散2.幂级数的敛散性讨论nnnzzc)(00nnnnnxcxcxccxc22100ncnnxc0上页下页铃结束返回首页注解1)0(RRRzz||0R0z和数学分析中一样，定理的称为此级数的收敛半径；而称为它的收敛圆盘.时，我们说此级数的收敛半径是，收敛圆盘扩大成复平面..当R=0时，我们说此级数的收敛半径是0，收敛圆盘收缩成一点上页下页铃结束返回首页定理4.12如果幂级数(4.3)的系数cn合于1lim,('nnnclDAlembertc达朗贝尔）lim||,()nnncl柯西Cauchyz或lim,(-)nnnclCauchyHadamard柯西阿达玛或2、幂级数的收敛半径的求法则幂级数的收敛半径为:0)(nnnazcR=1/l(l≠0,l≠+∞)0(l=+∞);+∞(l=0).(4.4)上页下页铃结束返回首页例1求下列幂级数的收敛半径:(1)13nnnz(并讨论在收敛圆周上的情形)(2)1)1(nnnz(并讨论2,0z时的情形)或nnnnnnc31limlim解(1)nnncc1lim3)1(limnnn因为,1.11lim3nnn4、典型例题上页下页铃结束返回首页所以收敛半径,1R即原级数在圆1z内收敛,在圆外发散,收敛的p级数).13(p所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周1z上,级数13131nnnnnz上页下页铃结束返回首页说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有级数的发散点.,0时当z原级数成为,1)1(1nnn交错级数,收敛.,2时当z发散.原级数成为,11nn调和级数，(2)1limlim1nnccnnnn,1.1R即上页下页铃结束返回首页解)4sin4(cos21ii因为nnic)1(所以nnncc1lim.2221R例20)1(nnnzi求的收敛半径.,24ie;)2(4innennn)2()2(lim1.2上页下页铃结束返回首页注解2(1)处处收敛;(2)既有收敛点,又有发散点;(3)处处发散一个幂级数在其收敛圆上的敛散性有如下三种可能.1100上处处发散所以原级数在收敛圆周发散，时，在，的收敛半径是nnnnzzz例如上页下页铃结束返回首页定理4.13(1)幂级数0)()(nnnazczf(4.5)的和函数f(z)在其收敛圆K:|z-a|R(0R≤+∞)内解析.3、幂级数的和函数的解析性(2)在K内,幂级数(4.5)可以逐项求导至任意阶,即：()1()!(1)2()pppfzpcppcza(1)(1)()npnnnnpcza(p=1,2,…)(4.6)(3)(p=0,1,2,…).(4.7)()()!ppfacp(4))(zf在收敛圆内可以逐项积分,0.:,d)(d)(ncnncRazKczazczzf01.)(1d)(nnnzaazncf或简言之:在收敛圆内,幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导,逐项积分.(常用于求和函数)即上页下页铃结束返回首页例3求级数0)1(nnzn的收敛半径与和函数.解12limlim1nnccnnnn因为.1R所以利用逐项积分,得:0000d)1(d)1(nznznnzznzzn01nnz所以)1()1(0zzznnn,1.1zz.)1(12z1z4、典型例题上页下页铃结束返回首页例4计算.21,d)(1zczzcnn为其中解,21内在z1)(nnzzS和函数czzzId)111(所以02i,1收敛nnz01nnzz,111zzcczzzzd11d1.2i上页下页铃结束返回首页例5求级数11)12(nnnz的收敛半径与和函数.解1212limlim11nnnnnncc因为.21R所以,21时当zzzznnn11212)12(11故,2,12z,1111zznn11111222nnnnnnzzz212.)1)(21(1zz上页下页铃结束返回首页5、小结与思考这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级数和函数的性质.思考题幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?上页下页铃结束返回首页incncos因为nnnnnnnneeeecc111limlim所以故收敛半径.1eR0)(cosnnzin练习求幂级数的收敛半径:解),(21coshnneen,e