河海大学-材料力学第5章弯曲应力作业参考解答

1第5章作业参考解答本章主要公式梁平面纯弯曲时曲率与弯矩和弯曲刚度的关系：zEIM=r1梁横截面上任一点处正应力的计算公式：zIMy=s正应力有最大值：zIMymaxmax=s令maxyIWzz=，zWM=maxs矩形截面上的切应力计算公式：bISFzz*=St等截面梁的正应力强度条件为：][maxmaxss£=zWM等截面梁的切应力强度条件为：][maxmaxSmaxtt£=*bISFzz梁的挠曲线的近似微分方程：zEIxMw)(-=¢¢梁的刚度条件为：][maxww£θ≤［θ］25-5求梁指定截面a-a上指定点D处的正应力，及梁的最大拉应力tmaxs和最大压应力cmaxs。解：1.求弯矩支座反力：kNFA310=a-a截面弯矩kNmM67.62310=´=最大弯矩：kNmM34.13340max==2.求形心轴()()()()MPaMPaIMMPaIMcmIcmhDzcztz0754.01091.125.720107.362521067.6289.61009.17107.362521034.131091.123075.41091.12107.362521034.131091.127.362521.888305.248586.26204500091.1220154156491.12153020302012191.123.4237.546515413020201541153020283max2832maxmax2832maxmax42242322=´--´´´-=-=´´´´-=´-´-==´´´´=´´=+=-´´-´--´´+´´===´-´´´-´´=--------ssspppp＝－－ABzh35-6(2)图示梁的横截面，其上受绕水平中性轴转动的弯矩。若横截面上的最大正应力为40MPa，试问：工字形截面腹板和翼缘上，各承受总弯矩的百分之几?解：设工字形截面腹板上最大正应力σ1，其承受的弯矩/2110225d1041666.7/2hxxxhss××=ò翼缘上最大正应力σ2，其承受的弯矩/222/22400d5015151.5/2hhxxxhdssd+××=+ò211110ss=Q，故腹板上承受总弯矩的百分比为10000111041666.710015.88111041666.75015151.510sss´=+×即翼缘上承受总弯矩的百分比为0084.125-7一矩形截面悬臂梁，具有如下三种截面形式：(a)整体；(b)两块上、下叠合；(c)两块并排。试分别计算梁的最大正应力，并画出正应力沿截面高度的分布规律。解：(a)固定端弯矩最大最大正应力位于该截面()2433214212zlqlyMyqlyIaaas××===×2max334qlas=(b)根据变形协调，上下梁分别承担分布荷载，其集度均为q/2243322112ZqllyMyqlyIaaas××===×正应力分布规律tscs正应力分布规律tscscsts正应力分布规律tscs2s1sh/2d42max332qlas=(c)两块并排时两块梁上作用的分布荷载集度均为q/2243322142122ZqllyMyqlyaIaas××===××（）2max334qlas=5-11一槽形截面悬臂梁，长6m，受q=5kN/m的均布荷载作用，求距固定端为0.5m处的截面上，距梁顶面100mm处b-b线上的切应力及a-a线上的切应力。解：根据切应力公式bISFzzS*=t，需确定横截面剪力、面积矩、形心惯性矩（1）剪力kNFS5.275.55=´=（2）形心位置、形心惯性矩，如图260140120280502576.82mm26014028050z´´×+´´==´´+´32327412(6014060140(70(76.8250)))1212805028050(76.8250/2)9.910mm12ZI=×××+××--+××+××-=´（3）b-b处切应力MPammmmmmkNbISFzzSbb77.16010109.9)18.6310060(5.274873*=´´´´´´==-t（4）a-a处切应力由于a-a位于对称轴y轴上，故0aat-=z'zy55-13图示一矩形截面悬臂梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用，其横截面尺寸为b、h，长度为l。（1）证明在距自由端为x处的横截面上的切向分布内力τdA的合力等于该截面上的剪力；而法向分布内力σdA的合力偶矩等于该截面上的弯矩。(2)如沿梁的中性层截出梁的下半部，如图所示。问截开面上的切应力τ′沿梁长度的变化规律如何?该面上总的水平剪力FQ′有多大?它由什么力来平衡?解：（1）取x截面左边部分，由其平衡0iyF=å，0AdAqxt--=ò，QAdAqxFt=-=ò0iM=å，02AxdAyqxs×+×=ò，22AqxdAyMs×=-=ò（2）沿梁长度剪力是线性分布的，该梁为等截面梁，因此横截面中性轴上切应力沿梁长度也是线性分布，由切应力互等，截开面上的切应力τ′沿梁长度是线性分布。沿梁长度剪力方程Q()Fxqx=-，横截面中性轴上切应力大小沿梁长度变化规律为Q3()3()22Fxqxxbhbht==，宽度方向均匀分布，故总的水平剪力hqlbdxbhqxbdxxFllS4323)(200===¢òòt，它由固定端约束力平衡。5-17图示铸铁梁，若［ts］=30MPa,［cs］=60MPa,试校核此梁的强度。已知=zI764×108-m4。解：(1)计算支座反力，作弯矩图5.20.4CDkNm×6(2)校核强度（该梁截面中性轴不对称，正负弯矩最大截面均是可能危险截面）C截面正弯矩最大[]3maxtmaxt82.5100.08828.80MPa76410CZMyIss-´´===£´c'3maxcmax82.5100.05217.02MPa76410CZMyIss-´´éù===£ëû´D截面负弯矩最大[]3maxtmaxt84100.05227.23MPa76410DZMyIss-´´===£´c'3maxcmax84100.08846.07MPa76410DZMyIss-´´éù===£ëû´符合强度要求5-19一矩形截面简支梁，由圆柱形木料锯成。已知F=8kN,a=1.5m，［σ］=10MPa。试确定弯曲截面系数为最大时的矩形截面的高宽比h/b，以及锯成此梁所需要木料的最d。解：3/030)(222261261dbbddbdWbdbbhWzz==-Þ=-==363max102.11010/1012]/[-´=´´=sMWz33102.139´=dWzmmd266=5-21截面为10号工字钢的AB梁，B点由d=20mm的圆钢杆BC支承，梁及杆的容许应力［σ］=160MPa，试求容许均布荷载q。解：这是一个拉杆强度和梁的强度计算问题（1）对于BC拉杆所受轴力N31.5924qqF´==由强度条件Nmax294[]40.02FqAssp´==£´´得22.34kN/mq£（2）对于AB梁其剪力弯矩图如图q0.75qAB0.28125q0.5q1.25qFSMAB0.75m7工字钢横截面中性轴对称,危险截面为弯矩绝对值最大的截面由强度条件[]maxmax60.54910ZMqWss-==£´得15.68kN/mq£从而确定容许均布荷载15.68kN/mq£5-27试画出图示各截面的弯曲中心的大致位置，并画出切应力流的流向，设截面上剪力FQ的方向竖直向下。解：5-23求图所示梁的最大容许荷载q。梁的容许正应力为3.5MPa，容许切应力为0.7MPa，胶结处的容许切应力为0.35MPa。解：（1）求内力最大剪力为qqlFs3.05.0max==，最大弯矩为qqlMz045.0281max==。（2）确定形心位置及计算惯性矩ycAAyAzzyyz8mmyc5.62752575255.8775252/757525=´+´´´+´´=46423121231211032.3)25752525752575257525(mmmIz-´=´´+´´+´´+´´=(3)正应力强度条件66maxmax105.3][1032.30625.0045.0´=£´´==-ssqIyMzcz解得：mkNq/13.4£。(4)最大切应力强度条件6369*maxmaxmax107.010251032.3102/5.625.62253.0´£´´´´´´´==---qbISFzzst解得：mkNq/97.3£。(5)粘结处应力强度条件6369*maxmax1035.010251032.3102525253.0´£´´´´´´´==---qbISFzzst解得：mkNq/2.6£。最后容许荷载为mkNq/97.3£。5-28求图中各截面梁在竖直向下荷载作用时的弯曲中心，并画出切应力流的流向。设各截面厚度均为10mm。图中单位为mm。解：(1)求角点应力At，BtzSzSzzSAIFIFbISF639*101250101010255010---´=´´´´´´==tzSzSzzSBIFIFbISF639*103250101010)255010504010(---´=´´´´´+´´==t1t1t2t2tAtAtBtF1F1F2F2F3zyCH9(2)求力F2zSzSBAIFIFlbF/109.0/104010)32501250(10105.0)(6363212----´=´´´+´´´=+=tt(3)求切应力1t及其合力F1zSzSzzSIFxIxxFbIxSFx6239*1105.01010102/10)()(---´=´´´´´´==tzSzSzSIFIFIFdxxbdxxF/102083.0/103/505/1010105.0)(612366500250011----´=´´=´´´´==òòt(3)求剪力合力作用线位置F1、F2、F3向H点简化后的主矩为zSHIFFFM/10106664.0101001040263231---´=´´+´´=，逆时针转。合力FS作用线位置e（在H点左侧为正）。mmmIFMezSH1.2902909.0106667.310106664.010)50401010010(210106664.010106664.066122312166==´´=´´´+´´=´==-----