七年级下学期数学竞赛同步辅导教材doc

初中数学竞赛同步辅导知识改变命运学习开创未来传播数学文化开启智慧人生七年级下册1第一讲整数的一种分类内容提要1．余数的定义：在等式A＝mB＋r中，如果A、B是整数，m是正整数，r为小于m的非负整数，那么我们称r是A除以m的余数。即：在整数集合中被除数＝除数×商＋余数(0≤余数除数)例如：13，0，－1，－9除以5的余数分别是3，0，4，1（∵－1＝5（－1）＋4。－9＝5（－2）＋1。）2．显然，整数除以正整数m,它的余数只有m种。例如整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。3．整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。例如：m=2时，分为偶数、奇数两类，记作｛2k｝,｛2k－1｝（k为整数）m=3时，分为三类，记作｛3k｝,｛3k+1｝,｛3k+2｝.或｛3k｝,｛3k+1｝，｛3k－1｝其中｛3k－1｝表示除以3余2。m=5时，分为五类，｛5k｝.｛5k+1｝,｛5k+2｝,｛5k+3｝,｛5k+4｝或｛5k｝,｛5k±1｝,｛5k±2｝，其中5k－2表示除以5余3。4．余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。举例如下：①（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2（余数1＋1＝2）②（4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3（余数1×3＝3）③（5k±2）2＝25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4（余数22＝4）以上等式可叙述为：①两个整数除以3都余1，则它们的和除以3必余2。②两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。③如果整数除以5，余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是4或9。余数的乘方，包括一切正整数次幂。如：∵17除以5余2∴176除以5的余数是4（26＝64）5．运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m。例题分析例1.今天是星期日，99天后是星期几？分析：一星期是7天，选用模m=7,求99除以7的余数解：99＝（7＋2）9，它的余数与29的余数相同，29＝（23）3＝83＝（7＋1）3它的余数与13相同，∴99天后是星期一。又解：设｛A｝表示A除以7的余数，｛99｝＝｛（7＋2）9｝＝｛29｝＝｛83｝＝｛（7＋1）3｝＝｛13｝＝1例2.设n为正整数，求43n+1除以9的余数。分析：设法把幂的底数化为9k＋r形式解：43n+1＝4×43n=4×(43)n=4×（64）n＝4×(9×7＋1)n∵(9×7＋1)n除以9的余数是1n=1∴43n+1除以9的余数是4。例3.求证三个连续整数的立方和是9的倍数解：设三个连续整数为n－1,n,n+1M=(n－1)3+n3+(n+1)3=3n(n2+2)初中数学竞赛同步辅导知识改变命运学习开创未来传播数学文化开启智慧人生七年级下册2把整数n按模3，分为三类讨论。当n=3k（k为整数，下同）时，M＝3×3k［(3k)2+2］=9k(9k2+2)当n=3k+1时，M＝3（3k+1）［(3k+1)2+2］＝3（3k+1）(9k2+6k+3)=9(3k+1)(3k2+2k+1)当n=3k+2时，M＝3（3k+2）［(3k+2)2+2］＝3（3k+2）(9k2+12k+6)＝9(3k+2)(3k2+4k+2)∴对任意整数n，M都是9的倍数。例4.求证：方程x2－3y2=17没有整数解证明：设整数x按模3分类讨论，①当x＝3k时，（3k）2－3y2=17,3(3k2－y2)=17⑵当x=3k±1时，（3k±1）2－3y2=173(3k2±2k－y2)=16由①②左边的整数是3的倍数，而右边的17和16都不是3的倍数，∴上述等式都不能成立，因此，方程x2－3y2=17没有整数解例5.求证：不论n取什么整数值，n2+n+1都不能被5整除证明：把n按模5分类讨论，当n=5k时，n2+n+1=(5k)2+5k+1=5(5k2+k)+1当n=5k±1时，n2+n+1＝（5k±1）2＋5k±1＋1＝25k2±10k+1+5k±1＋1＝5（5k2±2k＋k）＋2±1当n=5k±2时，n2+n+1＝（5k±2）2＋5k±2＋1＝25k2±20k+4+5k±2＋1＝5（5k2±4k+k+1）±2综上所述，不论n取什么整数值，n2+n+1都不能被5整除又证：n2+n+1＝n(n+1)+1∵n(n+1)是两个连续整数的积，其个位数只能是0，2，6∴n2+n+1的个位数只能是1，3，7，故都不能被5整除。练习一1.已知a=3k+1,b=3k+2,c=3k(a,b,c,k都是整数)填写表中各数除以3的余数。2.376÷7的余数是＿＿＿＿＿3．今天是星期日，第2天是星期一，那么第2111天是星期几？4．已知m,n都是正整数，求证：3nm(n2+2)5.已知a是奇数但不是3的倍数，求证：24（a2－1）（提示a可表示为除以6余1或5，即a=6k±1）a+ba+cabac2a2ba2b2b3b5a+b)5初中数学竞赛同步辅导知识改变命运学习开创未来传播数学文化开启智慧人生七年级下册36．把正整数按表中的规律排下去，问100将排在哪一列？7．已知正整数n不是4的倍数求证：1n＋2n＋3n＋4n是10的倍数5.任给5个整数，必能从中找到3个，其和能被10整除，这是为什么？9对任意两个整数，它们的和、差、积中至少有一个是3的倍数，试说明理由。10．任意10个整数中，必有两个,它们的差是9的倍数。这是为什么？如果改为任意n＋1个，则必有两个,它们的差是n的倍数，试说明理由。11.证明x2+y2-8z=6没有整数解12.从1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止即位1981234那么这个数用9除之，余数是＿＿＿一二三四五12348765910111216151413初中数学竞赛同步辅导知识改变命运学习开创未来传播数学文化开启智慧人生七年级下册4第二讲相交线与平行线内容提要教学目标：使学生掌握添加辅助线的方法教学重点与难点：如何添加辅助线教学过程：说明：利用平行线的判定定理和性质定理进行计算或证明，必须具备相应的图形，即三线八角，如果图形不齐全，则应将其补齐，这个“补齐”过程，就是添置辅助线，通常有两种情况；1.缺角补角在图形中虽然具备了“三线”，但“八角”没有完全显露出来，为了使解题思路流畅自然，应利用延长线段的方法，将“八角”补齐。2.缺线补线如果在图形中“三线”尚不齐全，则首要的任务是添线，通常是做平行线进行添线，添置平行线有一定难度，应结合已知条件，对图形全面进行考查，并辅以必要的练习，才能领会其中要领。例题解析：例1.如图所示，AB//CD，∠A=∠C。求证；AD//BC。DCAB分析：由AB//CD知它所对应的图形应是三线八角，而在图中，没有完全显露出来，为了更好地使用已知条件，可以将某些线段延长。证法1：如图所示，延长CD和AD。ABCDC//（已知）（两直线平行，同位角相等）（已知）4141CADBC//（内错角相等，两直线平行）D1C234AB证法2：延长CD和AD。初中数学竞赛同步辅导知识改变命运学习开创未来传播数学文化开启智慧人生七年级下册5ABCD//（已知）（两直线平行，内错角相等）42AC（已知）2CADBC//（同位角相等，两直线平行）证法3：延长CD和ADABCDACCADBC////（已知）°（两直线平行，同旁内角互补）（已知）°（同旁内角互补，两直线平行）431803180小结：延长AD，CD是为了更好地认识和使用图形——三线八角，但没有决定性作用，可以不作为添加辅助线的必要部分。本题虽然不添置辅助线也能够证明，但思路狭隘，不利于培养逻辑思维能力。例2.如图所示，已知：∠B+∠D=∠BED，求证：AB//CD。ABECD分析：由条件和结论可以发现，要证明AB//CD，缺少第三条直线，怎样添加第三条直线呢？如图1中，DM是第三条直线；图2中，BN是第三条直线；图3中，BD是第三条直线，按这三种方法添置辅助线，都可以进行证明，只是在证明过程中，要用到三角形内角和定理。AMBECD图1ABECND图2初中数学竞赛同步辅导知识改变命运学习开创未来传播数学文化开启智慧人生七年级下册6ABECD图3由已知图形及条件∠B+∠D=∠BED可以意识到，AB，CD分别在两组“三线八角”中，而且BE，DE分别是第三条直线，基于上述认识，过E点应存在一条平行于AB的直线，这就挖掘出了添置辅助线“过E作EF//AB”的背景。如图4，也是过E作EF//AB，图5也是过E作EG//AB，只是方向不同。ABE1F2CD图4ABG3E4CD图5证法1：如图4，过E作EF//ABBBEDBEDBDBDDEFCDABCD112122（两直线平行，内错角相等）（等量代换）（已知）（等量代换）（内错角相等，两直线平行）（平行于同一条直线的两直线平行）////证法2：如图5，过E作EG//AB请同学自己完成证明。初中数学竞赛同步辅导知识改变命运学习开创未来传播数学文化开启智慧人生七年级下册7练习1.如图所示，已知AB//CD，求证：BDBEDABECD2.如图所示，已知MNlABC//，°，°13040，求证：ABMN。AMFNBαlDC3.如图所示，AB//CD，EF分别交AB、CD于G、H，GK平分HGB，HK平分GHD。求证：GKHK。EAGBKCHDFDCFEBA4、如图所示，AB//CD，∠A+∠E+∠F+∠C的度数可以确定吗？5、如图所示，AB//CD，∠A、∠E、∠F、jKHGFEDCBA∠G、∠H、∠K、∠C之间是否存在某种关系？如果存在，请结合图形加以证明；如果不存在，请说明理由第3题图第4题图第5题图初中数学竞赛同步辅导知识改变命运学习开创未来传播数学文化开启智慧人生七年级下册8第三讲三角形和多边形内容提要1.知识结构瓷砖的铺设三角形多边形三角形的三边关系三角形的内角和多边形的内角和三角形的外角性质三角形外角和多边形外角和用正多边形铺满地面2.主要知识内容：通过本章的学习，我们应掌握以下知识内容：（1）瓷砖的铺设：1密铺的特征：相邻几个多边形中，在同一顶点的几个角的和等于3602常见的地砖形状：三角形、四边形和正六边形（2）三角形：1三角形的分类①三角形按边分类：三角形不等边三角形等腰三角形腰和底不相等的等腰三角形等边三角形②三角形按角分类：三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形直角三角形或三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形注意：等边三角形是特殊的等腰三角形，切记不能将三角形按边分成不等边三角形、等腰三角形和等边三角形三类。2三角形各角之间的关系：①三角形的内角和等于180②三角形的外角和等于360（每个顶点处只取一个外角）③三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和④三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角3三角形的三边关系：①三角形的任何两边的和大于第三边②判断三条线段能否构成一个三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边，其简便方法是看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段。（3）多边形的内角和与外角和①n边形的内角和等于()n2180，n边形的外角和等于360②正n边形的每个内角都等于()nn2180，每个外角都等于360n③n边形从一个顶点出发有()n3条对角线，n边形共有nn()32条对角线（4）用正多边形拼地板：①正多边形拼地板的必要条件：围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。初中数学竞赛同步辅导知识改变命运学习开创未来传播数学文化开启智慧人生七年级下册9②一种正多边形能密铺平面的只有：正三角形、正方形和正六边形③两种或两种以上正多边形组合密铺平面的设计。例题分析例1.（1）如图（a），求证：BDCABCADBC（a）（2）