高中数学抛物线及其标准方程

2.3.1抛物线及其标准方程课前自主学案温故夯基1．二次函数的图象是_________．2．y＝x2＋2的最小值是__.3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是_____________.抛物线2x＝－b2a知新益能1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离_____的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的______，直线l叫做抛物线的_______．相等焦点准线2．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p0)________x＝－p2y2＝－2px(p0)(－p2，0)________x2＝2py(p0)(0，p2)y＝－p2x2＝－2py(p0)(0，－p2)_______(p2，0)x＝p2y＝p2（1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的方程是y=－6x2，求它的焦点坐标和准线方程；33(,0)22Fx准线方程是11(0,)2424Fy准线方程是练习问题探究在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？提示：不一定是抛物线．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．课堂互动讲练求抛物线的标准方程求抛物线的方程通常有定义法和待定系数法．由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．例1求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．【思路点拨】首先判断焦点可能存在的位置，设出适当的方程的形式，然后求出参数p即可．【解】(1)当抛物线的焦点在x轴上时，可设抛物线方程为y2＝－2px(p0)，把点(－3,2)代入得22＝－2p×(－3)，∴p＝23，∴所求抛物线方程为y2＝－43x.当抛物线的焦点在y轴上时，可设抛物线方程为x2＝2py(p0)，把(－3,2)代入得(－3)2＝2p×2，∴p＝94，∴所求抛物线方程为x2＝92y.综上，所求抛物线的方程为y2＝－43x或x2＝92y.(2)直线x－2y－4＝0与x轴的交点为(4,0)，与y轴的交点为(0，－2)，故抛物线焦点为(4,0)或(0，－2)，当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p0)，∵p2＝4，∴p＝8，∴抛物线方程为y2＝16x；当焦点为(0，－2)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p0)，∵－p2＝－2，∴p＝4，∴抛物线方程为x2＝－8y.综上，所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.互动探究1若本例第(2)题改为“准线与坐标轴的交点在直线x－2y－4＝0上”，求抛物线的标准方程．解：直线x－2y－4＝0与x轴的交点是(4,0)，与y轴的交点是(0，－2)，则抛物线的准线方程为x＝4或y＝－2.当准线方程为x＝4时，可设方程为y2＝－2px(p0)，则p2＝4，∴p＝8，∴抛物线方程为y2＝－16x.当准线方程为y＝－2时，可设方程为x2＝2py(p0)，则－p2＝－2，∴p＝4，∴抛物线方程为x2＝8y.综上，抛物线的标准方程为y2＝－16x或x2＝8y.抛物线定义的应用对于抛物线中最值问题，应利用抛物线的定义把到焦点的距离化为到准线的距离，到准线的距离化为到焦点的距离．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A.172B．3C.5D.92例2【思路点拨】解答本题要利用抛物线的定义把点P到抛物线准线的距离转化成点P到焦点的距离，再利用三角形知识求最小值．【解析】由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.由图可知，P点，(0,2)点和抛物线的焦点F(12，0)三点共线时距离之和最小．所以最小距离d＝0－122＋2－02＝172.【答案】A互动探究2本例中若将点(0,2)改为点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值．解：由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|PA|＋|PF|的问题可转化为求|PA|＋d的问题．将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6.∵62，∴A在抛物线内部．由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，如图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为12＋3＝72.与抛物线相关的应用问题涉及桥的高度、隧道的高低问题，通常用抛物线的标准方程解决．建立直角坐标系后，要注意点的坐标有正负之分，与实际问题中的数据并不完全相同．例3某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米．一木船宽4米，高2米，载货的木船露在水面上的部分为0.75米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？【思路点拨】先建立平面直角坐标系，确定抛物线的方程，由对称性知，木船的轴线与y轴重合，问题转化为求出x＝2时的y值．【解】以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系(如图)．设抛物线的方程是x2＝－2py(p0)，由题意知A(4，－5)在抛物线上，故：16＝－2p×(－5)⇒p＝85，则抛物线的方程是x2＝－165y(－4≤x≤4)，设水面上涨，木船面两侧与抛物线形拱桥接触于B、B′时，木船开始不能通航．设B(2，y′)，∴22＝－165y′⇒y′＝－54.故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2米时，木船开始不能通航．【名师点评】(1)本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题．(2)在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．方法感悟1．(1)“p”是抛物线的焦点到准线的距离，所以p的值永远大于0.特别注意，当抛物线标准方程的一次项系数为负时，不要出现错误．(2)只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式．(3)抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围．如抛物线x2＝－2y，一次项变量y≤0，所以抛物线开口向下．2．标准方程中只有一个参数p，求抛物线的标准方程，只需求出p的值即可，常用待定系数法．(1)用待定系数法求抛物线标准方程时，一定先确定焦点位置与开口方向，如果开口方向不确定时，可设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，或者x2＝ay(a≠0)；(2)当抛物线不在标准位置时，用定义来求．