算数基本定理

1.4算术基本定理本节讨论数的分解，是初等数论中极其重要的内容。这里的数是指正整数。1.算术基本定理定理1.4.1若p是质数，则有(1)a不能被p整除的充分必要条件是：(p,a)=1;(2)若p|a1a2…an，则p|a1，p|a2，…p|an中至少有一个成立.1.算术基本定理定理1.4.2（算术基本定理）任一个大于1的整数a必有a=p1p2…pn(pi是质数），且在不计次序的意义下，分解的结果是唯一的.kkpppa2121kppp210i定义1.6把一个合数写成质因数连乘积的形式，称为分解质因数，为a的标准分解式，，1.算术基本定理定理1.4.3设则d是a的正约数的充分必要条件是：nnpppa2121nnpppb2121nnpppba2121),(),min(iiinnpppba2121],[),max(iiinnpppa2121),0(2121nkpppdiikk推论：设有指出：此为分解质因数法。思考题1、用分解质因数法求：[56，36，284]，（180，840，150）。2、（1）要使935×972×975×（）这个乘积的最后4位数字都是0，在括号内最小应填什么数？（2）416×525是多少位数？3、将下列8个数平均分成两组，使这两组的乘积相等:14，33，35，30，75，39，143，1692.自然数的正约数的个数及正约数的和引例：求360的所有正约数的个数及正约数的和。定义1.7表示自然数n的所有正约数的个数.表示自然数n的所有正约数的和.()n()n定理1.4.4若，则nnpppa21211()(1)niia()2.p特别地，p为质数的充分必要条件是：2.自然数的正约数的个数及正约数的和例1求例2求满足的最小正整数n.例3若n=paqb,其中p、q为不同质数，a、b均大于等于1，且n2有15个正约数，求推论1：正整数n为完全平方数的充分必要条件是为奇数。推论2：若(a,b)=1，则()n()()()abab(300000)()10n7()n2.自然数的正约数的个数及正约数的和定理1.4.5若，则111()1iniiipapnnpppa2121问题：如何求360的所有正约数的积？()1()aaa定理1.4.6自然数a的一切正约数的乘积：2.自然数的正约数的个数及正约数的和例1一个形如2k3m的正整数，其所有正约数的和为403，求这个正整数.例2有一个小于2000的四位数，它恰有14个正约数，其中有一个质约数的末位数字是1，求这个四位数.例3自然数A和B的正约数个数分别是12和10，且A，B的标准分解式中只含有质因数3和5，（A，B）=75，求A+B.例4求1998的所有正约数的倒数之和.()aa思考题1、求自然数N，使得它能被5和49整除，并且包括1和N在内，共有10个约数.2、求不大于200且恰有15个正约数的正整数.3、若a=695+5×694+10×693+10×692+5×69+1，求4、求720所有正约数的倒数之和。().a作业：P65-66：2、3、7、8、9、13