数学分析简明教程答案(尹小玲-邓东皋)第三章

-1-第三章极限与函数的连续性第一节极限问题的提出第二节数列的极限22221.1(1)lim120,[]1,,12222.211lim0.1nnnnNnNnnnnnNnn用定义证明下列极限为零：证明：对于取则对于总有因此有sin(2).lim;10,[]1,,sin111.1sinlim0.nnnnNnNnnnNnn证明：对于取则对于总有于是可知1(3).lim;!111110,[]1,,.1!1lim0.!nnnNnNnnNn证明：对于取则对于总有于是可知2222222(1)(4).lim;120,[]2,,(1)222.211[]1(1)lim0.1nnnnNnNnnnnnnnn证明：对于取则对于总有于是可知-2-22(5).lim(1);11lim(1)lim0,[]1,,11111.111lim(1)lim0.1nnnnnnnnnNnNnnnnnNnnnn证明：,对于取则对于总有于是可知1010(6).lim;!10101010101010,limlim.0,[]1,10!!1112131010101010101010,.lim0.10!111213!nnnnnnnnnMMMNnnnNMMMMnnnn证明：取则那么对于取则对于总有因此2222222(7).lim(1);111(0),(1)1(1)(1);2220,[]2,,22.12(1)(1)2lim0.nnnnnnnnnnaaaannnnnNnNnnnaannnna证明：令则那么对于取则对于总有因此!(8).lim;!123111,;0,[]1,,!111.1!lim0.nnnnnnnnnnnnNnnnnnnnnNnnnNnn证明：对于总有因此对于取则对于总有因此-3-3332233123(9).lim;112312112,;0,[]1,22,123111.1123lim0.nnnnnnnnnnNnnnnnnNnnnNnn证明：对于总有因此对取则对于总有因此112121(10).lim(),1.11(7)110,2[]2,max(,),11122.21lim()0.nnnnnnnaannNnNNaanNNNnNannnnan证明：由可知对于，,当时，有，即；因此对取则对于总有因此222222222222222.33(1).lim;2123333332322,2122121233333,[]1,,.321233lim.212nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnNnNnnnnn用定义证明：证明：对于都有那么对于取对于总有因此可知-4-2222222(2).lim1;111,()111,[]1,,1.1lim1.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnNnNnnnnn证明：对于都有那么对于取对于总有因此可知1(3).lim1,.11111,11.0,[]1,1111.lim1.1nnnnnnnnnnxxnnnnnxNnNnnnxxnN为偶数其中为奇数证明：对于都有则对于取当时总有于是有3331(4).lim3,31(1,2,).12323333303111313313232nnnnnnnknxxnkknnnknnnkxnnkxnnnnkx其中证明：当时，；当时，；当时，232321323333441.(3)(2)6110,[]1,[]1,max(,),11.33330;.313nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnNNNNNnNinkxiinkxnN那么对于分别取于是当时有当时，当时，;.32113.,3;lim3.nnnniiinkxnNxxnN当时，有即对任意都有故有-5-11113.(1).lim,,lim;lim,0,,.,0,,.lim.nnknnnnnnknknaakaaaaNnNaaNNkNnkNNkaaaa用定义证明:若则对任一个正整数总有证明：由于那么由定义可以知道：对当时有那么取则对当时有因此(2).lim,lim;;lim,0,,.(1),0,,lim.(1),lnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaNnNaaaaaaNnNaaaaaaa若则反之是否成立？证明：由于那么由定义可以知道：对当时有由于第二章第二节习题那么可以知道对当时有于是有反之不成立，例如有im1,lim1().nnnnaa而极限不存在111(3).lim,,,;lim0,,.,,,2.nnnnnnnnaaabNnNabaaNnNaaabNnNaaabbaab若且则存在当时,有证明：由于,那么由极限的定义可以知道:对于当时有我们取可知存在当时有即得证。0(4).lim,0,lim.lim0,,.'0,,'.lim.nnnnnnnnnannnnnnaaaaaaaNnNaaaaaaNnNaaaaaaaaa若且则证明：由于,那么由极限的定义可以知道:对于当时有那么对于当时有：因此有成立4.()(1)0,0,;(2)0,0,;(3)0,0,().nnnNnNxaNnNxaNnNxaMMMM极限的定义是否可以改成下面的形式？其中“”是逻辑符号，表示“存在”当时,有当时,有当时,有为常数答：这三种都是可以的，它们都是可以很容易的推导出课本中给的定义，也很容易用课本中的定义推导出这三者。不过第三个里面的“为常数”，昀好改为“为正常数”。5.{}{}{}(2),(1),limlim(2)(1)2limlimnnnnnnnnnnnnnnnnnnxyxyxyxyxy若收敛，能否断定，也收敛？答：不能；例如：显然，而与不存在。-6-6.(1,2,),lim()0,limlim.0,0;,;limnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxaynyxyxaxayaxyayayayaaxyxxaaxaxyayx设且求证：证明：由于，因此有于是有又因为()00,,;0,,,;limlim.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnyxNnNyxyxNnNyayxyxxayxyxyxa，即对于当时,有那么对于当时,有于是得7.利用极限的四则运算法则求极限：32323232323232321(1)lim23232limlim2322321limlim2322323300022nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn111111(2)3(2)lim(2)323()()33lim233()3()3323lim()lim()3323lim3()lim3()33011.033nnnnnnnnnnnnnnnnnn221111222(3)lim1111444111(1)1(1)22lim111122lim111(1)1(1)44lim11114423.423nnnnnnnnnn101011(4)lim(12310)lim110nnnnnnniii8.求下列极限：-7-111(1)lim[]1223(1)11111lim[(1)()()]22311lim(1)11nnnnnnnn2222222222222222111(2)lim[](1)(2)1111110(1)(2)1111limlimlim0111lim[]0(1)(2)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn个个解：由于；而于是有2222222222222111(3)lim()12111112111limlim1,lim()1.112nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn解：由于容易证得于是有2232341212311211321(4).lim()2221352111352321,222222222211(1)1112222112122()2[]12222222221211(1)212214[]1212nnnnnnnnnnnnnnnSSnnSSSnS解：令那么；于是因此212,11(1)13212122lim()limlim{14[]}1231222212nnnnnnnnS故1(5).lim(1)cos211111(1)(1)(1)cos(1)lim(1)(1)lim(1)0222221lim(1)cos0.2nnnnnnnnnnnnnn解：由于，而因此11(6).lim11lim101.nnnn-8-84211(1)221111112482211(1)22lim11lim(1)122(7).lim(2222)lim2lim2222nnnnnnnnnn111111(8).lim[(1)],010110,(1);(1)(1)0(1),10lim0,lim[(1)]0.nnnnnnnnnnnnnnnnnn解：由可知于是有则于是由知故1321(9).lim24221212(21)(21),213211352110242133557(21)(21)(21)11321lim0,lim0.242(21)nnnnnnnnnnnnnnnnnnn解：由于于是由于由两边夹法则可知21321(10)lim24221212(21)(21),21135211352121357212462135211121133557(21)(21)(21)lim1,nnnnnnnnn