反三角函数与最简三角方程专题精选(知识总结与试题)

-1-反三角函数与最简三角方程专题1、反三角函数：概念：把正弦函数sinyx，,22x时的反函数，成为反正弦函数，记作xyarcsin.sin()yxxR，不存在反函数.含义：arcsinx表示一个角；角,22；sinx.反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1）．符号arcsinx可以理解为[－2，2]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2，2]上的一个实数；同样符号arccosx可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；（2）．y＝arcsinx等价于siny＝x,y∈[－2，2],y＝arccosx等价于cosy＝x,x∈[0,π],这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）．恒等式sin(arcsinx)＝x,x∈[－1,1],cos(arccosx)＝x,x∈[－1,1],arcsin(sinx)＝x,x∈[－2，2],arccos(cosx)＝x,x∈[0,π]的运用的条件；（4）．恒等式arcsinx＋arccosx＝2,arctanx＋arccotx＝2的应用。2、最简单的三角方程方程方程的解集axsin1aZkakxx,arcsin2|1aZkakxxk,arcsin1|axcos1aZkakxx,arccos2|名称函数式定义域值域奇偶性单调性反正弦函数xyarcsin1,1增2,2奇函数增函数反余弦函数xyarccos1,1减,0xxarccos)arccos(非奇非偶减函数反正切函数arctanyxR增2,2奇函数增函数反余切函数cotyarcxR减,0cot()cotarcxarcx非奇非偶减函数-2-1aZkakxx,arccos2|tanxa|arctan,xxkakZcotxa|cot,xxkarcakZ其中：（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；（2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解；（3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；如：若sinsin，则sin(1)kk；若coscos，则2k；若tantan，则ak；若cotcot，则ak；（4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。【例题】例1.函数，，的反函数为（）yxxsin232例2.函数，，的图象为（）yxxarccos(cos)2222-2-2O2O2-2（A）（B）11-2-2O2O2-1（C）（D）例3.求值：(1)3sin2arcsin5(2)11tanarccos23例4.画出下列函数的图像（1）)arcsin(sinxy函数是以2为周期的周期函数当]2,2[x时，xx)arcsin(sin当]23,2[x时，xx)arcsin(sin其图像是折线，如图所示：（2）]1,1[),sin(arccosxxy∵],0[arccosxyx-3-∴)1(1)(arccoscos122xxxy其图像为单位圆的上半圆（包括端点）如图所示：例5.已知)23,(,135sin),2,0(,2572cos求（用反三角函数表示）例6.已知函数2()arccos()fxxx（1）求函数的定义域、值域和单调区间；（2）解不等式：()(21)fxfx简单的三角方程例1.写出下列三角方程的解集(1)2sin()82x;(2)2cos310x;(3)cot3x例2.求方程tan(3)34x在0,2上的解集.例3.解方程22sin3cos10xx例4.解方程①3sin2cos0xx②222sin3sincos2cos0xxxx例5.解方程：(1)3sin2cos21xx(2)5sin312cos36.5xx例6.解方程22sin3cos0xx．例7.解方程：tan()tan()2cot44xxx例8.已知方程sin3cos0xxa在区间0,2上有且只有两个不同的解，求实数a的取值范围。例9.若方程cos22sin10xxm存在实数解，求m的取值范围．例10.求方程sin2cos()xx的解集．【巩固练习】反三角函数1.3arctan(tan)5的值是(C)A.35B.25C.25D.352.下列关系式中正确的是(C)A.55coscos44arcB.sinarcsin33-4-C.coscoscoscos44arcarcD.1tan(2)cot()2arcarc3.函数()arcsin(tan)fxx的定义域是(B)A.,44B.,44kkkZC.,(1)44kkkZD.2,244kkkZ4.在31,2上和函数yx相同的函数是(B)A.arccos(cos)yxB.arcsin(sin)yxC.sin(arcsin)yxD.cos(arccos)yx5.函数arctan2xy的反函数是.6.求sinyx在3,22上的反函数.7.比较5arccos4与1cot()2arc的大小.51arccoscot()42arc8.研究函数2arccosyxx的定义域、值域及单调性.9.计算:45cosarccosarccos51310.求下列函数的定义域和值域：(1)y＝arccosx1;(2)y＝arcsin(－x2＋x);(3)y＝arccot(2x－1),11.求函数y＝(arccosx)2－3arccosx的最值及相应的x的值。-5-简单的三角方程1.解下列方程.(1)2tan1x(2)sin5sin3xx2.方程sin2x＝sinx在区间(0,2π)内的解的个数是.3.(1)方程tan3x＝tgx的解集是(2)方程sinx＋cosx＝22在区间[0,4π]上的所有的解的和是.4.解方程2223sinsincoscos03xxxx．