数的整除特征

数的整除特征1/11数的整除性质主要有：（1）若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。（2）若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。（3）几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。（4）若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。（5）若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。（6）若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。（7）个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。（8）个位上是0或者5的数都能被5整除。（9）若一个整数各位数字之和能被3（或9）整除，则这个整数能被3（或9）整除。（10）若一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。（11）若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。（12）若一个整数各位数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除。（13）一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除,只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除（14）末位数字为零的整数必能被10整除（15）另外,一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11的倍数,那么这个整数也是11的倍数.（一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位,十位、千位、百万位……称为偶数位.）（16）至于6和12的整除特性，通过以上的原则判断即可：各位数之和能被3整除的偶数能被6整除；各位数之和能被3整除且末两位数字组成的两位数能被4整除的整数能被12整除。数的整除特征2/11（17）能被7整除的数的特征：若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。方法1、（适用于数字位数少时）一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。方法2、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被7整除，那么，这个多位数就一定能被7整除．如判断数280679末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是280，679－280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除。此法也适用于判断能否被11或13整除的问题。如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．如：判断383357能不能被13整除．这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．方法3、首位缩小法，在首位或前几位，减于7的倍数。例如，判断452669能不能被7整除，452669-420000=32669，只要32669能被7整除即可。对32669可继续，32669-28000=4669，4669-4200=469，469-420=49，49当然被7整除，所以452669能被7整除。（18）能被11整除的数的特征：除了前面讲的被7整除的方法二适用于11之外，还可以把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。例如：判断491678能不能被11整除。奇位数字的和数的整除特征3/119+6+8=23，偶位数位的和4+1+7=12，23-12=11因此,491678能被11整除。这种方法叫“奇偶位差法”。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1。（19）能被13整除的数的特征：除了前面讲的被7整除的方法二适用于13之外，还可以把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验和」的过程，直到能清楚判断为止，重复此过程。例如：判断1284322能不能被13整除。128432+2×4=128440，12844+0×4=12844，1284+4×4=1300，1300÷13=100所以，1284322能被13整除。（20）能被17整除的数的特征：把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。例如：判断1675282能不能被17整除。167528-2×5=16751816751-8×5=167111671-1×5=1666166-6×5=136如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。6×5=30，现在个位×5=30剩下的13，就用大数减去小数，30-13=17，17÷17=1；所以1675282能被17整除。若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。（21）能被19整除的数的特征：把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。数的整除特征4/11若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。（22）被4或25整除的数的特征如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除。例如：4675＝46×100＋75由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如：832＝8×100＋32由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．（23）被8整除的数的特征如果一个数的末三位数能被8或125整除，那么，这个数就一定能被8或125整除．例如：9864的末三位是864，864能被8整除，9864就一定能被8整除．72375的末三位数是375，375能被125整除，72375就一定能被125整除。（24）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（25）被23或29整除的数的特征：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23(或29)整除重点·难点数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非。数的整除特征5/11学法指导能被2和5，4和25，8和125整除的数的特征是分别看这个数的末一位、末两位、末三位。我们可以综合推广成一条：末n位数能被（或）整除的数，本身必能被（或）整除；反过来，末n位数不能被（或）整除的数，本身必不能被（或）整除。例如，判断253200、371601能否被16整除，因为，所以只要看各数的末四位数能否被16整除。学习这一讲知识要学会举一反三。经典例题[例1]在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数尽可能小。思路剖析这个六位数分别被3、4、5整除，故它应满足如下三个条件：（1）各位数字和是3的奇数；（2）末两位数组成的两位数是4的倍数；（3）末位数为0或5。按此条件很容易找到这个六位数。解答不妨设补上三个数字后的位数为，由于这个六位数被4、5整除，因为被4整除，所以c不能是5而只能是0，且b只可能是2、4、6、8、0。又因，所以3|（5+6+8+a+b+0），所以：当b=2时，3|（5+6+8+a+2），a可为0、3、6、9；当b=4时，3|（5+6+8+a+4），a可为1、4、7；当b=6时，3|（5+6+8+a+6），a可为2、5、8；当b=8时，3|（5+6+8+a+8），a可为0、3、6、9；当b=0时，3|（5+6+8+a+0），a可为2、5、8。为了使六位数尽可能地小，则a应取0、b应取2、c应取0。故能被3、4、5整除的最小六位数应为568020。[例2]四位数能同时被2、3、5整除，问这个四位数是多少？思路剖析数的整除特征6/11能同时被2、3、5整除，所以满足以下三个条件：个位数字B在0、2、4、6、8之中，各位数字之和是3的倍数，个位数B在0、5之中。第一个和第三个条件都是针对个位数字的，所以先根据第二个条件确定百位数字A。解答要使能同时被2和5整除，个位数字只能是B=0；又要使能被3整除，所以各位数字之和8+A+1+0=9+A应能被3整除。可以看出，当A取0、3、6、9时，各位数字之和9+A可以被3整除。所求的四位数是8010、8310、8610、8910。[例3]有两堆糖果，第一堆有513块，第二堆有633块，哪一堆可以平均分给9个小朋友而无剩余？思路剖析本题实际上是判断513与633能否被9整除。解答513各位上数字之和是5+1+3=9，能被9整除；633各位上数字的和是6+3+3=12，不能被9整除。所以，第一堆可以平均分给9个小朋友而无剩余，第二堆平均分给9个小朋友还剩余3块。[例4]有一个四位数是9的倍数，求A的值。思路剖析四位数是9的倍数，即能被9整除，根据能被9整除的数的特征，这个四位数的各位数字之和一定是9的倍数。解答（1）当和是9时，3+A+A+1=9，即2A=5，所以A=2．5（舍）；（2）当和是18时，3+A+A+1=18，即2A=14，A=7；（3）当和是27时，3+A+A+1=27，即2A=23，可见A=11．510（舍）。所以，A的值是7。数的整除特征7/11[例5]一位马虎的采购员买了72只桶，洗衣时将购货发票洗烂了，只能依稀看到：72只桶，共□67．9□元（□内的数字洗烂了），请你帮他算一算，他一共用了多少钱？思路剖析用整除性质：一个数能被两个数和的积整除，那么这个数就能同时被这两个数整除。例如，整数a能被15整除，那么这个数一定能同时被3和5整除。这种方法是分析整数问题的基本方法。解答将□67．9□元看做□679□分，这是72只桶的总价，因为单价×72=□679□，所以□679□能被72整除。72=8×9，所以□679□应该能被8和9整除。如果□679□能被8整除，那么它的末三位一定能被8整除，即8|79□，容易算出□内是2。因为□6792能被9整除，所以其各数之和能被9整除。□+6+7+9+2=□+24，显然，□中的数只能是3。所以这笔账是367．92元。答：一共用了367．92元。[例6]在□里填上适当的数字，使得六位数□678□□能被8、9和25整除。解答☆解法一：根据8、9和25整除的数的特征很容易解出此题。这个六位数能被25整除，根据能被25整除的数的特征知，六位数的末两位数可能是00、25、50、75；该数又能被8整除，所以这个六位数的末三位数应能被8整除，而在800、825、850、875中只有800满足条件，所以这个六位数的个位、十位都是0；又因为这个六位数能被9整除，所以这个六位数的各位数字之和（不妨设首位为x）为：x+6+7+8=21+x能被9整除，可推出x只能为6，所以这个六位数为667800。☆解法二：根据数的整除性质（4）：如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个