2019版高考数学文科二轮专题复习：第二部分-直线与圆

专题五解析几何第1讲直线与圆1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2，6]B．[4，8]C．[2，32]D．[22，32]解析：由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径r＝2，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|2＋2|1＋1＝22，所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝32，最小距离是d－r＝2.易知A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝22，所以2≤S△ABP≤6.答案：A2．(一题多解)(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________．解析：法一设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则F＝0，1＋1＋D＋E＋F＝0，4＋2D＋F＝0，解得D＝－2，E＝0，F＝0.故圆的方程为x2－2x＋y2＝0.(2)法二设O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，所以kOA＝1，kAB＝1－01－2＝－1，所以kOA·kAB＝－1，所以OA⊥AB.所以OB为所求圆的直径，所以圆心坐标为(1，0)，半径为1.故所求圆方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.答案：x2－2x＋y2＝03．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A、B两点，则|AB|＝________．解析：由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝|－1－1|2＝2.所以|AB|＝222－（2）2＝22.答案：224．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB→·CD→＝0，则点A的横坐标为________．解析：设A(a，2a)，则a0.又B(5，0)，故以AB为直径的圆的方程为(x－5)(x－a)＋y(y－2a)＝0.由题意知C(a＋52，a)．由（x－5）（x－a）＋y（y－2a）＝0，y＝2x，解得x＝1，y＝2，或x＝a，y＝2a.所以D(1，2)．又AB→·CD→＝0，AB→＝(5－a，－2a)，CD→＝(1－a＋52，2－a)，所以(5－a，－2a)·(1－a＋52，2－a)＝52a2－5a－152＝0，解得a＝3或a＝－1.又a0，所以a＝3.答案：3从近几年高考命题看，本讲高考的重点是直线与圆的方程，两条直线的位置关系、直线与圆的位置关系，考查的主要内容是求直线(圆)的方程，点到直线的距离，直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等．热点1直线方程1．两条直线平行与垂直．若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．求直线方程．要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线，截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．3．两个距离公式．(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.【例1】(1)(2018·潍坊三模)直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“m＝－1或m＝－7”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)过点(1，2)的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当△OAB的面积最小时，直线l的方程为()A．2x＋y－4＝0B．x＋2y－5＝0C．x＋y－3＝0D．2x＋3y－8＝0解析：(1)由(3＋m)(5＋m)－4×2＝0，得m＝－1或m＝－7，但m＝－1时，直线l1与l2重合．当m＝－7时，l1的方程为2x－2y＝－13，直线l2：2x－2y＝8，此时l1∥l2，所以“m＝－7或m＝－1”是“l1∥l2”的必要不充分条件．(2)设直线l的方程为xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，则1a＋2b＝1.所以1a＋2b≥22ab，则ab≥8.当且仅当1a＝2b＝12，即a＝2，b＝4时，取“＝”．所以当a＝2，b＝4时，△OAB的面积最小．此时l的方程为x2＋y4＝1，即2x＋y－4＝0.答案：(1)B(2)A[规律方法]1．求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．2．求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意．[变式训练](1)(2018·贵阳质检)已知直线l1：mx＋y＋1＝0，l2：(m－3)x＋2y－1＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是________．解析：(1)“l1⊥l2”的充要条件是“m(m－3)＋1×2＝0⇔m＝1或m＝2”，因此“m＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．(2)当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大．因为A(1，1)，B(0，－1)，所以kAB＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率k＝－12，所以直线l1的方程是y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.答案：(1)A(2)x＋2y－3＝0热点2圆的方程1．圆的标准方程．当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心为原点时，方程为x2＋y2＝r2.2．圆的一般方程．x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F＞0，表示以－D2，－E2为圆心，D2＋E2－4F2为半径的圆．【例2】(1)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦的长为23，则圆C的标准方程为________．(2)(2017·天津卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为____________．解析：(1)设圆心为a，a2(a＞0)，由题意知，半径为a.由勾股定理得(3)2＋a22＝a2，解得a＝2.所以圆心为(2，1)，半径为2，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.(2)由题意知该圆的半径为1，设圆心C(－1，a)(a＞0)，则A(0，a)．又F(1，0)，所以AC→＝(－1，0)，AF→＝(1，－a)．由题意知AC→与AF→的夹角为120°，得cos120°＝AC→·AF→|AC→|·|AF→|＝1×－11＋a2＝－12，解得a＝3.所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝1.答案：(1)(x－2)2＋(y－1)2＝4(2)(x＋1)2＋(y－3)2＝1[规律方法]1．直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．2．待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．[变式训练](1)(2018·湖北荆州二模)圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是()A．2B．－2C．1D．－1(2)(2018·惠州调研)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为455，则圆C的方程为________．解析：(1)因为圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，所以直线y＝kx＋3过圆心(1，1)，即1＝k＋3，解得k＝－2.(2)因为圆C的圆心在x的正半轴上，设C(a，0)，且a＞0.则圆心C到直线2x－y＝0的距离d＝|2a－0|5＝455，解得a＝2.所以圆C的半径r＝|CM|＝（2－0）2＋（0－5）2＝3，则圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.答案：(1)B(2)(x－2)2＋y2＝9热点3直线与圆的位置关系(多维探究)1．直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d＜r⇔相交；d＝r⇔相切；d＞r⇔相离．(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ＞0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ＜0⇔相离．2．圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种：即内含、内切、相交、外切、外离，主要利用圆心距d与两圆半径R1与R2之间的关系来解决．命题视角圆的切线问题【例3－1】(1)(2018·安徽宣城二模)已知过点P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线x－ay＋1＝0平行，则a＝________．(2)(2018·湖南怀化联考)已知⊙C：x2＋y2＝1，点A(0，－2)，B(a，2)，从点A观察点B，要使视线不被⊙C挡住，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B.－∞，－433∪433，＋∞C.－∞，－233∪233，＋∞D.－433，433解析：(1)因为点P在圆(x－1)2＋y2＝5上，所以过点P(2，2)与圆(x－1)2＋y2＝5相切的切线为(2－1)(x－1)＋2y＝5，即x＋2y－6＝0.由直线x＋2y－6＝0与直线x－ay＋1＝0平行，得－a＝2，a＝－2.(2)易知点B在直线y＝2上，过点A(0，－2)作圆的切线，设切线的斜率为k，则切线方程为y＝kx－2，即kx－y－2＝0.由d＝|0－0－2|1＋k2＝1，得k＝±3.所以切线方程为y＝±3x－2和直线y＝2的交点坐标为－433，2，433，2.故要使视线不被⊙C挡住，则实数a的取值范围是－∞，－433∪433，＋∞.答案：(1)－2(2)B命题视角圆的弦长相关计算【例3－2】(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1)．当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．(1)解：不能出现AC⊥BC的情况．理由如下：设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2满足方程x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2.又C的坐标为(0，1)，AC的斜率与BC的斜率之积为－1x1·－1x2＝－12，所以不能出现AC⊥BC的情况．(2)证明：BC的中点坐标为x22，12，可得BC的中垂线方程为y－12＝x2x－x22.由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－m2.联立x＝－m2，①y－12＝x2x－x22，②又x22＋mx2－2＝0，③由①②③解得x＝－m2，y＝－12.所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为－m2，－12，半径r＝m2＋92.故圆在y轴上截得的弦长为2r2－m22＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．[规律方法]1．研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及