2014版高考一轮复习-第1讲-分类加法计数原理与分步乘法计数原理

【2014年高考会这样考】1．会用分类加法计数原理与分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际应用问题．2．结合分类讨论和“补集”思想考查两个原理的区别应用.第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理抓住3个考点突破3个考向揭秘3年高考活页限时训练分类加法计数原理分步乘法计数原理两个原理的区别与联系考向一考向二考向三计数原理的应用单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲助学微博基础自测A级【例1】【训练1】【例2】【训练2】【例3】【训练3】两个计数原理的综合应用分步乘法计数原理分类加法计数原理选择题填空题解答题123、、、B级选择题填空题解答题123、、、考点梳理1．分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情共有N＝种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝种不同的方法．3．两个原理的区别与联系联系：两个计数原理都是关于完成一件事的不同方法种数的问题．区别：分类计数原理与分类有关，各种方法相互独立，且任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．m1＋m2＋…＋mnm1×m2×…×mn助学微博分类加法计数原理的特点是独立、互斥；分步乘法计数原理的特点是关联、连续．解题时经常是两个原理交叉在一起使用，两个原理综合使用时，一般先分类，再分步、分类要标准明确，分步要步骤连续，有的题目也可能出现先分步，在“步”里面再分类．两个特点两个关键分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的步骤，既要合理分类，又要准确分步．1．(人教A版教材习题改编)由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有()．A．238个B．232个C．174个D．168个2．(2012·辽宁)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()．A．3×3!B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!3．设x、y∈N且x＋y≤3，则直角坐标系中满足条件的点M(x，y)共有()．A．3个B．4个C．5个D．10个4．将4位老师分配到3个学校去任教，共有分配方案()．A．81种B．12种C．7种D．256种5．从1,2,3,4，…，100这100个自然数中，每次取出两个不同的数相乘，积是5的倍数的取法有________种．单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解考点自测CCDA179012345【例1】►(2012·浙江)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()．A．60种B．63种C．65种D．66种解析由题意知，满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C45＝5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C25·C24＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．答案D[审题视点]先找出和为偶数的各种情况，再利用分类加法计数原理求解．考向一分类加法计数原理[方法锦囊]分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．【训练1】如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．解析把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)；第二类，有两条公共边的三角形共有8(个)．由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)．答案40[审题视点]先找出和为偶数的各种情况，再利用分类加法计数原理求解．考向一分类加法计数原理[方法锦囊]分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．【例2】►(2011·北京)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个(用数字作答)．解析法一用2,3组成四位数共有2×2×2×2＝16(个)，其中不出现2或不出现3的共2个，因此满足条件的四位数共有16－2＝14(个)．法二满足条件的四位数可分为三类：第一类含有一个2，三个3，共有4个；第二类含有三个2，一个3共有4个；第三类含有二个2，二个3共有C24＝6(个)，因此满足条件的四位数共有2×4＋C24＝14(个)．答案14[审题视点]组成这个四位数须分4步完成，故用分步乘法计数原理．考向二分步乘法计数原理此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积．注意：各步之间相互联系，依次都完成后，才能做完这件事．简单说使用分步计数原理的原则是步与步之间的方法“相互独立，逐步完成”．[方法锦囊]【训练2】(2012·新课标全国)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()．A．12种B．10种C．9种D．8种解析利用分步乘法计数原理和组合数公式求解．分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C12＝2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C24＝6(种)选派方法．由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种)．答案A[审题视点]组成这个四位数须分4步完成，故用分步乘法计数原理．考向二分步乘法计数原理此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积．注意：各步之间相互联系，依次都完成后，才能做完这件事．简单说使用分步计数原理的原则是步与步之间的方法“相互独立，逐步完成”．[方法锦囊]比赛场数至少3场，至多5场，通过分类讨论，用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析问题，解决问题．[审题视点]考向三两个计数原理的综合应用【例3】►(2012·陕西)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()．A．10种B．15种C．20种D．30种解析分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C23＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C24＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20种，故选C.答案C(1)解决此类综合题的关键在于区分该问题是“分类”还是“分步”.(2)解决既有“分类”又有“分步”的综合问题时，应“先分类，后分步”．【方法锦囊】【训练3】已知集合M∈{1，－2,3}，N∈{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是()．A．18B．10C．16D．14解析M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2×2个，在第二象限的点共有1×2个．N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2×2个，在第二象限的点共有2×2个．所求不同的点的个数是2×2＋1×2＋2×2＋2×2＝14(个)．答案D比赛场数至少3场，至多5场，通过分类讨论，用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析问题，解决问题．[审题视点]考向三两个计数原理的综合应用(1)解决此类综合题的关键在于区分该问题是“分类”还是“分步”.(2)解决既有“分类”又有“分步”的综合问题时，应“先分类，后分步”．【方法锦囊】热点突破24计数原理的应用【命题研究】纵观历年高考对两个计数原理应用的考查，多以选择题与填空题的形式出现，考查蕴含在实际问题的解决中，多是两原理结合在一起应用，做好问题转化，分好类与步是关键，今年高考仍会坚持此规律，不会有大的变化．揭秘3年高考[教你审题]带字母系数的曲线方程，字母系数的不同取值个数即为所求，求解时可选择某一系数的取值为标准进行分类，但要做到不重不漏．[解法]法一当a＝1时，若c＝0，则b2有4,9两个取值，共2条抛物线；若c≠0，则c有4种取值，b2有两种，共有2×4＝8(条)抛物线；当a＝2时，若c＝0，b2取1,4,9三种取值，共有3条抛物线；若c≠0，c取1时，b2有2个取值，共有2条抛物线，c取－2时，b2有2个取值，共有2条抛物线，c取3时，b2有3个取值，共有3条抛物线．c取－3时，b2有3个取值，共有3条抛物线．∴共有3＋2＋2＋3＋3＝13(条)抛物线．同理，a＝－2，－3,3时，共有抛物线3×13＝39(条)．由分类加法计数原理知，共有抛物线39＋13＋8＋2＝62(条)．【真题探究】►(2012·四川)方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()．A．60条B．62条C．71条D．80条法二显然方程ay＝b2x2＋c表示抛物线时，有ab≠0，故该方程等价于y＝b2ax2＋ca.(1)当c＝0时，从{－3，－2,1,2,3}中任取2个数作为a，b的值，有A25＝20种不同的方法，当a一定，b的值互为相反数时，对应的抛物线相同，这样的抛物线共有4×3＝12条，所以此时不同的抛物线共有A25－6＝14条；(2)当c≠0时，从{－3，－2,1,2,3}中任取3个数作为a，b，c的值有A35＝60种不同的方法，当a，c的值一定，而b的值互为相反数时，对应的抛物线相同，这样的抛物线共有4A23＝24条，所以此时不同的抛物线有A35－12＝48条．综上所述，满足题意的不同的抛物线有14＋48＝62条，故选B.[答案]B【真题探究】►(2012·四川)方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()．A．60条B．62条C．71条D．80条[备考]计数原理往往与其他知识相结合综合命题，所以试题的综合性比较强，平时要加强训练，注意总结知识之间的融合点及分类讨论、正难则反数学思想的应用，该部分考题涉及排列、组合数的求解，准确计算是解决问题的关键．解析如图所示，阴影中的整点部分为x，y满足的区域，其中整数点(x，y)共有8个，从中任取3个有C38＝56种取法．其中三点共线的有1＋C35＝11.故可作不同的圆的个数为45.答案A【试一试】(2013·长沙模拟)已知x，y满足x－y＋2≥0，x＋y－2≤0，0≤y2(x∈Z，y∈Z)，每一对整数(x，y)对应平面上一个点，则过这些点中的其中3个点可作不同的圆的个数为()．A．45B．36C．30D．271．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有(C)．A．6种B．12种C．24种D．30种解析分步完成．首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2＝24(种)，故选C.答案C2．(2013·琼海模拟)某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法总数是(A)．A．210B．420C．