余数问题(教师版)

精心整理一、带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：(1)当0r时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2。2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。知识精讲余数问题精心整理例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b(modm)，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除。用式子表示为：如果有a≡b(modm)，那么一定有a－b＝mk，k是整数，即m|(a－b)【例1】用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．【解析】因为1992是a的46倍还多r,得到19924643......14，得1992464314，所以43a，14r．【例2】甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．【解析】(法1)因为甲乙1132，所以甲乙乙1132乙乙12321088；【解析】则乙(108832)1288，甲1088乙1000．【解析】(法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的(111)倍，所以得到乙数10561288，甲数1088881000．【例3】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。【解析】本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。本题中310-37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3×7×13，所求的两位数约数还要满足比37大，符合条件的有39，91.【例4】有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是经典例题精心整理多少？【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968。【例5】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?【解析】由48412，4859.6知，一组是10或11人．同理可知48316，48412知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．【例6】一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．【解析】因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于13678，并且小于13(61)91；又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为78583．【例7】有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.【解析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．1014556，594514，(56,14)14，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14。【例8】20032与22003的和除以7的余数是________．【解析】找规律．用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222，所以20032除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以22003除以7余1．故20032与22003的和除以7的余数是415．【例9】求2461135604711的余数．【解析】因为246111223...8，1351112...3，604711549...8，根据同余定理(三)，2461135604711的余数等于83811的余数，而838192，精心整理1921117...5，所以2461135604711的余数为5．【例10】求19973的最后两位数．【解析】即考虑19973除以100的余数．由于100425，由于3327除以25余2，所以93除以25余8，103除以25余24，那么203除以25余1；又因为23除以4余1，则203除以4余1；即2031能被4和25整除，而4与25互质，所以2031能被100整除，即203除以100余1，由于1997209917，所以19973除以100的余数即等于173除以100的余数，而63729除以100余29，53243除以100余43，176253(3)3，所以173除以100的余数等于292943除以100的余数，而29294336163除以100余63，所以19973除以100余63，即19973的最后两位数为63．【例11】2008222008除以7的余数是多少？【解析】328除以7的余数为1，200836691，所以200836691366922(2)2＋，其除以7的余数为：669122；2008除以7的余数为6，则22008除以7的余数等于26除以7的余数，为1；所以2008222008除以7的余数为：213．【作业1】5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。【答案】79【作业2】明明在一次计算除法时，把被除数171错写成117，结果商少3而余数恰恰相同，这题中的除数是多少？【答案】18【作业3】两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．【解析】因为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为4154884179（）（），所以，被除数为7948324。【作业4】1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【解析】1013121001，100171113，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于除数”,所以舍去11，答案只有13,77,91。课后作业精心整理【作业5】求478296351除以17的余数．【解析】先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数．478,296,351除以17的余数分别为2，7和11，(2711)179......1．【作业6】一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为a，2a，5a，则这个自然数是多少？【解析】根据题意可知，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数（都为a）．既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0．那么这个自然数是29023357的约数，又是23319538的约数，因此就是57和38的公约数,因为57和38的公约数只有19和1，而这个数大于1，所以这个自然数是19．【作业7】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?【解析】由48412，4859.6知，一组是10或11人．同理可知48316，48412知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．【作业8】某个大于1的自然数分别除442，297，210，得到相同的余数，则该自然数为。【分析】首先要清楚一个事实：两个数被同一个数除余数相同，则这两个数相减（大减小）能被这个数整除。知道了这个事实后我们就很容易做这个题了。因为该自然数能整除442297145，也能整除442210232，同样能整除29721087。所以可知这个自然数必定是145，232，87的公约数。而这三个数大于1的公约数只有29。所以可知这个自然数为29。【作业9】两位自然数ab与ba除以7都余1，并且ab，求abba．【解析】abba能被7整除，即(10)10)9abbaab（（）能被7整除．所以只能有7ab，那么ab可能为92和81，验算可得当92ab时，29ba满足题目要求，92292668abba【作业10】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？精心整理【解析】所求班级数是除以118,67,33余数相同的数．那么可知该数应该为1186751和673334的公约数，所求答案为17．