周期函数注意点以及常见抽象函数周期性的证明

周期函数一、周期函数的定义1、对于函数()fx，如果存在一个非零常数．．．．T，使得当x取定义域内的每一个值．．．．时，都有()()fxTfx，那么函数()fx就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。注意：①定义域：对于任何函数，都需要明确其定义域，对于周期函数来说，其定义域必为至少一端无界的集合。理由：设周期为T,由周期函数的定义知f(x+T)=f(x),易得f(x+nT)=f(x)(其中n是整数),即x+nT也在定义域内,故周期函数定义域必是无界集。例题：sin(010)yxx是周期函数吗？②变的只能是xT的变化只能发生在x上。例如()sin(38)fxx是周期函数，则()sin[3()8]fxTxT，不能写成()sin(38)fxTxT。例题：sin2sin33xx，那么2是sin()3x的周期吗？③图像为周期波动的函数不一定是周期函数，要观察定义域。例如：()[]fxxx（33x）（[]x是取整函数，表示不超过x的最大整数），该函数的图像如下所示，该图像重复出现，但是因为其定义域两端都有界，所以其必不为周期函数。二、周期函数问题的相关题型及解答。核心：所有周期函数的问题，核心在求出周期T，即将题目里各种()fx的等式往()()fxTfx方向化简。化简过程中需要注意的相关函数概念：化简过程中要注意()fx本身的对称性和奇偶性。三、抽象函数的周期总结1.fxfxT()()型：fx()的周期为T。证明：对x取定义域内的每一个值时，都有fxTfx()()，则fx()为周期函数，T叫函数fx()的周期。2.fxafxb()()型：fx()的周期为||ba。证明：fxafxbfxfxba()()()()。3.fxafx()()型：fx()的周期为2a。证明：fxafxaafxafx()[()]()[()]2fx()4.fxafx()()1型：fx()的周期为2a。证明：fxafxaafxafxfx()[()]()()()2111。5.fxafx()()1型：fx()的周期为2a。证明：fxafxaafxafxfx()[()]()()()2111。6.fxafxfx()()()11型：fx()的周期为4a。证明：fxafxaafxafxa()[()]()()2111111111fxfxfxfxfx()()()()()，∴fxafxaafxafxfx()[()]()()()4221211。7.)(1)(1)(xfxfaxf)(xfy的周期为aT2证明：1()(2)[()]1()fxafxafxaafxa=1()11()()1()11()fxfxfxfxfx。8、1)(1)(xfaxf)(xfy的周期为3Ta证明：11()1[()]1()1()1()111[(2)]()()1(2)11()(3)()fxfxaafxafxfxfxaafxfxfxafxfxafx9、)()()2(xfaxfaxf)(xfy的周期为aT6证明：)()()2(xfaxfaxf(3)(2)()fxafxafxa(3)()[(3)3](())()fxafxfxaafxfx10.两线对称型：函数fx()关于直线xa、xb对称，则fx()的周期为||22ba。证明：fxfaxfxfbxfaxfbxfxfxba()()()()()()()()222222，。8.一线一点对称型：函数fx()关于直线xa及点（b，0）对称，则fx()的周期为||44ba。证明：fxfaxfbxfxfaxfbxfxbafx()()()()()()()()222222，所以fxbafxbabafxbafxfx()[()]()[()]()442222229.两点对称型：函数fx()关于点（a，0）、（b，0）对称，则fx()的周期为||22ba。证明：faxfxfbxfxfaxfbxfxfxba()()()()()()()()222222。