固体物理12-晶体中电子的运动

六、晶体中电子的运动对晶体中电子运动的本征态与本征值得了解对我们研究固体的物理性质至关重要。EUVmrrextcrys22方法1.量子力学的处理方法：解下面含外场的薛定谔方程：方法2.将电子运动当成准经典粒子来处理（外场较弱且恒定；不考虑电子在不同能带间的跃迁；不考虑电子的衍射、干涉及碰撞）。经典粒子同时具有确定的位置和动量，但服从量子力学运动规律的微观粒子是不可能的。如果一个量子态的经典描述近似成立，则在量子力学中这个态就要用一个“波包”来代表，所谓波包是指该粒子（例如电子）空间分布在r0附近的△r范围内，动量取值在ħk0附近的ħΔk范围内，满足测不准关系。把波包中心r0看作该粒子的位置，把ħk0看作该粒子的动量。晶体中的电子，可以用其本征函数Bloch波组成波包，从而当作准经典粒子来处理。rrkkrkk')'('',uettikkk0'6.1晶体中电子的准经典描述/''kkE在晶体中，电子的准经典运动可以用Bloch函数组成的波包描述。由于波包中含有能量不同的本征态，因此，必须用含时间因子的Bloch函数：不随k而变。把与k0相邻近的各k’状态叠加起来就可以组成与量子态k0相对应的波包：rrkkrkk')'('',uettikkk0'/''kkE设波包由以k0为中心，在k的范围内的波函数组成，并假设k很小，可近似认为rrkk0uu波包tizyxtizyxedkdkdkeutdkdkdktkrkkrkkkkrrr,,2/2/2/2/2/2/)(2/2/2/2/2/2/0000这里我们用到了rrkk0uukkkk0622222sinsinsin0wwvvuuurk积分得到:tkzwtkyvtkxuzyx其中:622222sinsinsin0wwvvuuurk为分析波包的运动，只需分析ψ2，即几率分布即可。0波函数集中在尺度为的范围内，波包中心为：u=v=w＝0即：2sinuuu222tEt0010kkkkr若将波包看成一个准粒子，则粒子的速度为0001kkkkkEv晶体中处于状态的电子，在经典近似下，其平均速度相当于以k0为中心的波包速度，而波包的传播速度是群速度：gkvk0k把Bloch波当作准经典粒子处理的条件：由于Bloch波有色散，一个稳定的波包所包含的波矢范围△k应是一个很小的量：。因为测不准关系ak2这表明，如果波包的大小比原胞尺寸大得多，晶体中电子的运动就可以用波包的运动规律来描述。对于输运现象，只有当电子平均自由程远大于原胞尺寸的情况下，才可以把晶体中的电子当作准经典粒子，波包移动的速度（群速度）等于处于波包中心处粒子所具有的平均速度。2xkakx1考虑到不同能带的电子，晶体中电子速度的一般表述：)(1)(kkknnE这个公式表达了一个非常重要的事实，那就是：晶体中电子的平均速度只与能量和波矢有关，对时间和空间而言，它是常数，因此平均速度将永远保持不变而不衰减。也就是说可以一直流动下去而不衰减。这意味着：电子不会被静止的原子所散射，严格周期性的晶体电阻率为零。这个公式表明：电子速度的方向为k空间中能量梯度的方向，即垂直于等能面。因此，电子的运动方向决定于等能面的形状，在一般情况下，在k空间中，等能面并不是球面，因此，v的方向一般并不是k的方向：vvv只有当等能面为球面，或在某些特殊方向上，v才与k的方向相同。以一维为例说明电子运动速度的大小与k的关系：在能带底和能带顶，E(k)取极值，因此，在能带底和能带顶，电子速度v＝0。E(k)v(k)在能带中的某处电子速度的数值最大，这种情况与自由电子的速度总是随能量的增加而单调上升是完全不同的。0dkdE0dkdE三.电子的准动量：在外场中，电子所受的力为F，在dt时间内，外场对电子所做的功为Fvdt。根据功能原理，有:在平行于v的方向上，dk/dt和F的分量相等；当F与速度v垂直时，不能用功能原理来讨论电子能量状态的变化，但是我们仍可以证明在垂直于速度的方向上，dk/dt和外力F的分量也相等。kvFkdEdEdt0vkFdtdEkv1k上式是电子在外场作用下运动状态变化的基本公式，因为k的性质像是Bloch电子的准动量，所以在这个意义上，上式可以简单表述为：准动量对时间的变化率等于力，即具有牛顿第二定律相似的形式。准动量不是Bloch电子严格意义上的动量，严格意义上的动量的变化率等于作用在电子上面所有力的和，而准动量的变化率只是外场力作用的结果，这里没有包括晶格势场作用力。Bloch波不是动量的本征态，并不对应于确定的动量。k也不等于动量算符的本正值。dtdkF对于自由电子，k=p/就是电子的动量：)()(rkrkrkkkrkkninninuieueii对于晶体周期场中的电子用Bloch波描述，动量算符作用下：)()(rkrrkieii这表明Bloch波不是动量算符的本征函数。在晶体周期场中，k是动量概念的扩展，称为准动量或电子晶格动量。四.电子的加速度和有效质量晶体中电子运动的准经典模型为，外场用经典方式处理，晶体周期场用能带论的处理，电子位置用Bloch波包的中心位置代替。准经典运动的基本关系式：此外，假定能带指标n是运动常数，即电子总是呆在同一能带中，忽略电子在能带之间的跃迁。类似牛顿第二定律1dtdEkFkvkMotionofBlochelectronAnomalousvelocityAnomalousHalleffectBerrycurvatureoftheBlochstate:Chang&Niu,Phys.Rev.B53,7010(1996),Sundaram&Niu59,14915(1999)1rBrrkkkkrk-eeEEnkkkkkkknnnnuuiA()iAkk从电子运动的基本关系式可以直接导出在外力作用下电子的加速度。1.一维情况引入电子的有效质量：由于周期场的作用，当把加速度在形式上写成仅由外力引起的形式时，外力与加速度之间的关系显然不是由电子的惯性质量所联系的，而必须引入一个有效质量的概念，它计入了周期场的影响。22222111dkkEdFdkkEddtdkdkkdEdtdtdv222*/dkkEdm引入有效质量后，电场作用下的电子就像一个自由电子那样运动，给我们处理问题带来极大方便。有效质量反比于能带的曲率，曲率越大，有效质量越小，反之，有效质量越大。由于周期场中电子的能量E(k)与k的函数关系不是抛物线关系，因此，电子的有效质量m*不是常数，而与k有关。在能带顶，E(k)取极大值，在能带底，E(k)取极小值，022dkEd022dkEd0*m0*m在特定情况下（比如在带底），电子能量是k的二次函数时即：（α是常数）所以，我们可以电子能量写成和自由电子相同的形式：有效质量和能带曲率成反比示意图2kE/2*m*222mkE下图给出近自由电子近似下能带结构和有效质量随k的变化。带底附近m*是大于零的常数，因为这里的能量是k的二次函数。随着k的增大，能量波矢之间不再严格是二次函数，所以m*不再是常数，而是k的函数，超过能量曲线拐点，m*变为负值。表明在k空间的这个区域，晶格对电子产生一个很大的阻力，以致压制住外力，并产生一个负的加速度。kkEFkEkdtdkkkEdtdtdv23123111112.三维情况：上面结果推广到三维，有：其分量形式为,β＝1,2,3EdtdEdtdtdkkkkv111矩阵形式与牛顿定律相比可知，现在是用一个二阶张量代替了1mzyxzyzzxzyyxyzxyxxzyxFFFkEkkEkkEkkEkEkkEkkEkkEkEvvv222222222222Fvm1称为倒有效质量张量。由于微商可以交换顺序，倒有效质量张量是一个对称张量。同时，晶体的点群对称性也会使张量的独立分量减少，对于各向同性晶体，它退化为一个标量。由于倒有效质量张量是对称张量，如将kx、ky、kz取为张量的主轴方向，就可将其对角化。222222222222*1zyzzxzyyxyzxyxxkEkkEkkEkkEkEkkEkkEkkEkEm能量可以表示为时***222222*1000100010000001zyxzyxmmmkEkEkEm232221zyxkkkEk12*2im在这种情况下，电子质量是各向异性的。相应于这种能量形式的电子对应于椭球等能面，例如半导体硅锗中常有此种形式。有效质量引入有效质量使我们常常可以用类似自由电子的方法处理Bloch电子，有效质量的作用在于它概括了晶体内部周期场作用（把这个作用用有效质量代替），使我们能够更简单的讨论问题。Bloch电子会表现出许多异乎寻常的性质，如电子的加速度方向并不一定与外场力的方向一致，这是由有效质量张量的性质所决定的。电子有效质量常用电子比热数据计算得到：mm*0exp其中0为自由电子的比热系数，exp为实验值。对于有些材料，这个比值可以很大，100～1000倍，即电子的有效质量很大，称为重费米子，相应材料称为重费米子材料。这类材料对应于费米能级处非常高的态密度。这一点我们可以从自由电子气比热系数中看到γ∝N(EF)TENkTcFBV)(323例如，1975年发现化合物CeAl3，其低温电子比热系数γ高达1620mJ/mol·K。通常把γ值大于400mJ/mol·K的材料称为重费米子系统。例：求紧束缚近似下简单立方晶体s态电子的有效质量。,1,2,3即kx,ky,kz为张量的主轴方向，由此可得akakakJJEzyxscoscoscos210kcos2122akJakkEakJakEmcos2122222*1,2,3这表明有效质量的三个主分量均与J1成反比，若原子间距越大，J1越小，则有效质量就越大。在能带底点：k=(0,0,0)，这时有效质量张量退化为一个标量。在能带顶R点：02122***Jammmzyx****000000xxxmmmmaaa,,k02122***Jammmzyx这表明，在能带底和能带顶电子的有效质量是各向同性的，退化为一标量，这是立方对称的结果。在X点：1.有效质量是一个很重要的概念，它把晶体中电子准经典运动的加速度与外力联系起来。2.有效质量中包含了周期场对电子的作用。在一般情况下,有效质量是一个张量，在特殊情况下也可以退化为标量。3.有效质量不仅可以取正，也可以取负。在能带底附近，有效质量