哈尔滨工程大学《数字信号处理》(1-7章)习题解答

34《数字信号处理》习题解答第一章习题解答1、对三个正弦信号1()cos2axtt，2()cos6axtt，3()cos10axtt进行理想采样，采样频率为8s。求三个采样输出序列，比较这三个结果。画出1()axt，2()axt，3()axt的波形及采样点位置，并解释频谱混淆现象。解：采样频率8s，那么采样周期2sT，对连续信号()axt理想采样可表示为ˆ()()()aanxtxnTtnT这样就有11ˆ()()()cos(4)2aannnxtxnTtnTtn223ˆ()()()cos(4)cos(4)22aannnnnxtxnTtnTtntn335ˆ()()()cos(4)cos(4)22aannnnnxtxnTtnTtntn因此采样后输出序列分别为cos2n、cos2n和cos2n。1()axt，2()axt，3()axt的波形及采样点位置如题1解图所示。题1解图由表达式及题1解图中可以看出123ˆˆˆ()()()aaaxtxtxt121t1()axt121t2()axt1t3()axt1235那么以采样频率8s对2()axt和3()axt采样后，已不能由2ˆ()axt和3ˆ()axt恢复。由题意可知，2()axt和3()axt的最高频率分别为2642sm31042sm根据采样定理，采样的结果必然导致频谱混叠，2ˆ()axt、3ˆ()axt已不包含2()axt、3()axt的全部信息，因此无法恢复2()axt、3()axt。2、以下序列是系统的单位脉冲响应()hn，试指出系统的因果性及稳定性。(1)0.3()nun(2)21unn(3)1!unn(4)4n(5)sin(),0nn(6)(1)()3(1)nnn(7)(5)un(8)2()nNRn解：(1)当0n时，()0hn，所以系统是因果的；因为010|()|0.37nnnhn，所以系统是稳定的。(2)当0n时，()0hn，所以系统是因果的；因为201|()|nnhnn，所以系统是不稳定的。(3)当0n时，()0hn，所以系统是因果的；因为0111|()|11!21321111113248nnhnn所以系统是稳定的。(4)当40n时，()1hn，所以系统是非因果的；因为()(4)1nnhnn，所以系统是稳定的。(5)当0n时，()0hn，所以系统是因果的；因为0()sin()nnhnn，所36以系统是不稳定的。(6)当10n时，()1hn，所以系统是非因果的；因为|()|5nhn，所以系统是稳定的。(7)当5n时，()1hn，所以系统是非因果的；因为5|()|1nnhn，所以系统是不稳定的。(8)当0n时，()0hn，所以系统是因果的；因为10|()|221NnNnnhn，只要N有限，系统就是稳定的。3、判断下列信号是否为周期的，并对周期信号求其基本周期。(1)()cos(0.125)xnn(2)jj1812()Re{}Im{}nnxnee(3)3()cos()78xnAn(4)j6()nxne解：(1)由于02/2/0.12516是有理数，所以()xn是周期的，且周期为16。(2)对于j12Re{}ne，22412，那么它的周期为24；对于j18Re{}ne，23618，则它的周期为36，()xn的周期为这两个信号周期的最小公倍数，所以周期为72。(3)由于03142/2/73是有理数，所以()xn是周期的，周期为14。(4)利用欧拉公式6j()()cos()jsin()66cosjsin66nnnxnenn由于02/12是无理数，所以()xn是非周期的。4、判断下列系统是否为线性、时不变、因果、稳定系统，说明理由。其中，()xn与()yn分别为系统的输入与输出。(1)()()ynnxn(2)3()()sin()74ynxnn37(3)()()nmynxm(4)()(1)(1)ynxnxn解：(1)首先判断系统是否是线性系统，假设在1()xn和2()xn单独输入时的输出分别为1()yn和2()yn，即：111()[()]()ynTxnnxn222()[()]()ynTxnnxn那么当输入为12()()()xnaxnbxn时，系统的输出为121212()[()][()()]()()()()ynTxnTaxnbxnanxnbnxnaynbyn所以系统是线性系统。下面判断系统是否为时不变系统，假设系统的输入为()xn，系统的输出()[()]()ynTxnnxn当系统的输入为1()()xnxnm时，系统的输出111()[()]()()()()ynTxnnxnnxnmnmxnm因为()()()ynmnmxnm，显然11()[()][()]()ynTxnTxnmynm，所以系统是时变系统。接下来判断系统是否为因果系统，()yn与()xn有关，由因果系统的定义可知，该系统为因果系统。最后，判断系统是否为稳定系统，假设输入()1xn有界，即()1xn此时输出满足()()ynnxnn因此系统为非稳定系统。(2)假设在1()xn和2()xn单独输入时的输出分别为1()yn和2()yn，即：1113()[()]()sin()74ynTxnxnn382223()[()]()sin()74ynTxnxnn那么当输入为12()()()xnaxnbxn时，系统的输出为121212()[()][()()]33()sin()()sin()7474()()ynTxnTaxnbxnaxnnbxnnaynbyn所以系统是线性系统。当系统的输入为1()()xnxnm时，系统的输出11133()[()]()sin()()sin()7474ynTxnxnnxnmn因为3()()sin(())74ynmxnmnm，显然当1m时，11()[()][(1)](1)ynTxnTxnyn，所以系统是时变系统。()yn与()xn有关，由因果系统的定义可知，该系统为因果系统。最后，判断系统是否为稳定系统，假设输入有界，即()xxnB此时输出满足3()()sin()()74xynxnnxnB因此系统为稳定系统。(3)当系统输入为12()()()xnaxnbxn时，系统的输出为121212()[()][()()]()()()()nnmmynTxnTaxnbxnaxmbxmaynbyn所以系统是线性系统。当系统的输入为1()()xnxnl时，系统的输出111()[()]()()()nnnlmmmynTxnxmxmlxm因为()()nlmynlxm，显然11()[()][()]()ynTxnTxnlynl，所以系统是时不39变系统。()yn与()xn及以前时刻的输入有关，所以该系统为因果系统。最后，判断系统是否为稳定系统，假设输入()1xn有界，即()1xn此时输出满足()()1nnmmynxm因此系统为非稳定系统。(4)当系统输入为12()()()xnaxnbxn时，系统的输出为12121212()[()][()()](1)(1)(1)(1)()()ynTxnTaxnbxnaxnbxnaxnbxnaynbyn所以系统是线性系统。当系统的输入为1()()xnxnm时，系统的输出1111()[()](1)(1)(1)(1)ynTxnxnxnxnmxnm因为()(1)(1)ynmxnmxnm，显然1()[()]()ynTxnmynm，所以系统是时不变系统。()yn与将来时刻的输入(1)xn有关，所以该系统为非因果系统。最后，判断系统是否为稳定系统，假设输入有界，即()xxnB此时输出满足()(1)(1)2xynxnxnB因此系统为稳定系统。5、已知线性时不变系统的输入为()xn，系统的单位脉冲响应为()hn，试求系统的输出()yn。(1)()2()nxnun，1()()()2nhnun(2)4()()xnRn，4()()hnRn40(3)()()01nxnauna，()()01nhnbunb,ab(4)()()xnun，()(2)(3)hnnn解：(1)由题知，1()()()2()()2nmmmynxnhnumunm根据单位阶跃序列()un的特点，和式中m的取值范围为0mn，所以当0n时，()0yn，当0n时，1120122212()241223nnnnnmnmyn综上，2212()()3nnynun(2)由题可知，44033()()()()()11,0317,460,nmmnynxnhnRnRnnnnn其它(3)由题知，()()()()()()()mnmmmynxnhnxmhnmaumbunm根据单位阶跃序列()un的特点，和式中m的取值范围为0mn，所以当0n时，()0yn，当0n时，011()nmnmnnynaabbaba综上，11()()nnbaynunba41(4)由题可知，()()()()((2)(3))(2)(3)(2)ynxnhnunnnununn6、写出题6图所示系统的差分方程，并按初始条件()0,0ynn求输入为3()()xnRn时的输出响应。延延()xn()yn12题6图解：设延迟后的输出为()Tn，那么由系统的结构图有1()()(1)2(1)()()TnxnTnTnTnyn两式相加得2()()()3Tnynxn，将其代入第一式可得12(1)(1)(1)()()33ynxnxnynxn整理后，系统的差分方程为1()()(1)(1)2ynxnxnyn当()0,0ynn时，利用迭代法求输入为3()()xnRn时的输出响应如下，1(0)(0)(1)(1)12yxxy；15(1)(1)(0)(0)22yxxy21131(2)(2)(1)(1)43242yxxy311(3)(3)(2)(2)4322yxxy…42311()()(1)(1)43()22ynxnxnynun所以31()43()2ynun7、已知一系统的差分方程为1()(1)()2ynynxn其输入序列()()xnkn，初始条件为(1)ya，求系统的输出()yn。解：由于初始条件已给定了0n以前的输出，所以系统的输出响应只要从0n开始求起。先由初始条件及输入求(0)y值：