您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 幼儿/小学教育 > 小学教育 > 北师大九年级数学下册知识点总结
第1页图1图3图4九年级数学下册知识点归纳第一章直角三角形边的关系一.锐角三角函数1.正切:定义:在Rt△ABC中,锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切..,记作tanA,即的邻边的对边AAAtan;①tanA是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”;②tanA没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比;③tanA不表示“tan”乘以“A”;④初中阶段,我们只学习直角三角形中,∠A是锐角的正切;⑤tanA的值越大,梯子越陡,∠A越大;∠A越大,梯子越陡,tanA的值越大。2.正弦..:定义:在Rt△ABC中,锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即斜边的对边AAsin;3.余弦:定义:在Rt△ABC中,锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即斜边的邻边AAcos;锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数当锐角A变化时,相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。二.特殊角的三角函数值三.三角函数的计算1.仰角:当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角..2.俯角:当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角..3.规律:利用特殊角的三角函数值表,可以看出,(1)当角度在0°~90°间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1,0≤cosα≤1。4.坡度:如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度...........(或坡比..)。用字母i表示,即Alhitan5.方位角:从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角...。如图3,OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。6.方向角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角...。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是;北偏东30°,南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°,北偏西60°。7.同角的三角函数间的关系:①互余关系sinA=cos(90°-A)、cosA=sin(90°-A)②平方关系:③商数关系:30º45º60ºsinα212223cosα232221tanα3313图2hi=h:llABC第2页8.解直角三角形:在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形(须知一条边)。9.直角三角形变焦关系:在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则有(1)三边之间的关系:a2+b2=c2;(2)两锐角的关系:∠A+∠B=90°;(3)边与角之间的关系:;cot,tan,cos,sinabAbaAcbAcaA;cot,tan,cos,sinbaBabBcaBcbB(4)面积公式:cchab2121S(hc为C边上的高);(5)直角三角形的内切圆半径2cbar(6)直角三角形的外接圆半径cR2110.三角函数的应用11.利用三角函数测高第3页第二章二次函数1.概念:一般地,若两个变量x,y之间对应关系可以表示成cbxaxy2(a、b、c是常数,a≠0)的形式,则称y是x的二次函数....。自变量x的取值范围是全体实数。在写二次函数的关系式时,一定要寻找两个变量之间的等量关系,列出相应的函数关系式,并确定自变量的取值范围........。2.图像性质:(1)二次函数y=ax2的图象:是一条顶点在原点且关于y轴对称的抛物线...。)0(2aaxy是二次函数cbxaxy2的特例,此时常数b=c=0.(2)抛物线的描述:开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高(或最低)点、抛物线与x轴的交点。①函数的取值范围是全体实数;②抛物线的顶点在(0,0),对称轴是y轴(或称直线x=0)。③当a>0时,抛物线开口向上,并且向上方无限伸展。当a<0时,抛物线开口向下,并且向下方无限伸展。④函数的增减性:A、当a>0时.,0;,0增大而增大随时增大而减小随时xyxxyxB、当a<0时.,0;,0增大而减小随时增大而增大随时xyxxyx⑤当|a|越大,抛物线开口越小;当|a|越小,抛物线的开口越大。⑥最大值或最小值:当a>0,且x=0时函数有最小值,最小值是0;当a<0,且x=0时函数有最大值,最大值是0。(3)二次函数caxy2的图象:是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线,二次函数caxy2的图象中,a的符号决定抛物线的开口方向,|a|决定抛物线的开口程度大小,c决定抛物线的顶点位置,即抛物线位置的高低。(4)二次函数cbxaxy2的图象:是以直线abx2为对称轴,顶点坐标为(ab2,abac442)的抛物线。(开口方向和大小由a来决定)|a|的越大,抛物线的开口程度越小,越靠近对称轴y轴,y随x增长(或下降)速度越快;|a|的越小,抛物线的开口程度越大,越远离对称轴y轴,y随x增长(或下降)速度越慢。(5)二次函数cbxaxy2的图象与y=ax2的图象的关系:cbxaxy2的图象可以由y=ax2的图象平移得到:(利用顶点坐标)(6)二次函数khxay2)(的图象:是以直线x=h为对称轴,顶点坐标为(h,k)的抛物线。(开口方向和大小由a来决定)(7)二次函数cbxaxy2的性质:二次函数cbxaxy2配方成abacabxay44)2(22则抛物线的①对称轴:x=ab2②顶点坐标:(ab2,abac442)③增减性:若a0,当xab2时,y随x的增大而减小.....;当xab2时,y随x的增大而增大。......第4页若a0,则当xab2时,y随x的增大而增大.....;当xab2时,y随x的增大而减小。......④最值:若a0,则当x=ab2时,abacy442最小;若a0,则当x=ab2时,abacy442最大3.确定二次函数的表达式:(待定系数法)(1)一般式:cbxaxy2(2)顶点式:khxay2)((2)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)4.二次函数的应用:几何方面应用题5.二次函数与一元二次方程(1)二次函数cbxaxy2的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1,x2是对应一二次方程02cbxax的两个实数根(2)抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:acb420===抛物线与x轴有2个交点;acb42=0===抛物线与x轴有1个交点;acb420===抛物线与x轴有0个交点(无交点);(3)当acb420时,设抛物线与x轴的两个交点为A、B,则这两个点之间的距离:化简后即为:)04(||4||22acbaacbAB这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。第5页第三章圆1.圆的定义:描述性定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆.;固定的端点O叫做圆心..;线段OA叫做半径..;以点O为圆心的圆,记作⊙O,读作“圆O”集合性定义:圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心..,定长叫做圆的半径....,圆心定圆的位置,半径定圆的大小,圆心和半径确定的圆叫做定圆..。对圆的定义的理解:①圆是一条封闭曲线,不是圆面;②圆由两个条件唯一确定:一是圆心(即定点),二是半径(即定长)。2.点与圆的位置关系及其数量特征:如果圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则①点在圆上===d=r;②点在圆内===dr;③点在圆外===dr.其中点在圆上的数量特征是重点,它可用来证明若干个点共圆,方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。3.圆的对称性:(1)与圆相关的概念:①弦和直径:弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦.。直径:经过圆心的弦叫做直径..。②弧、半圆、优弧、劣弧:弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧..,简称弧.,用符号“⌒”表示,以CD为端点的弧记为“”,读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆:直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆..。优弧:大于半圆的弧叫做优弧..。劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧..。(为了区别优弧和劣弧,优弧用三个字母表示。)③弓形:弦及所对的弧组成的图形叫做弓形..。④同心圆:圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆...。⑤等圆:能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆。⑥等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧..。⑦圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角....⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距....(2)圆是轴对称图形,直径所在的直线是它的对称轴,圆有无数条对称轴。圆是中心对称图形,对称中心为圆心。定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.4.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。推论:平分一般弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。说明:根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,如果具备:①圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。5.圆周角和圆心角的关系:(1)圆周角::顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.(2)圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半.推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等。推论2:直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;(3)圆内接四边形:若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形.圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补;6确定圆的条件:第6页(1)理解确定一个圆必备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.(2)经过三点作圆要分两种情况:经过同一直线上的三点不能作圆.经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.定理:不在同一直线上的三个点确定一个圆.(尺规作图)7.三角形的外接圆、三角形的外心。(1)三角形的外接圆:经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆.(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.8.直线与圆的位置关系(1)相交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.(2)相切:直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.(4)直线与圆的位置关系的数量特征:设⊙O的半径为r,圆心O到直线的距离为d;①dr===直线L和⊙O相交.②d=r===直线L和⊙O相切.③dr===直线L和⊙O相离.(5)切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.①垂直于切线;②过切点;③过圆心.(6)三角形的内切圆、内心.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心.三角形内心的性质:三角形的内心到三边的距离相等.(三角形的内切圆作法尺规作图)9切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线长想等,圆外切四边形对边相等,直角三角形内切圆半径公式.10.圆内接正多
本文标题:北师大九年级数学下册知识点总结
链接地址:https://www.777doc.com/doc-4792930 .html