高考文科数学专题一：集合题型总结含解析

-1-第一章集合第一节集合的含义、表示及基本关系练习一组1．已知A＝{1，2}，B＝{}|xxAÎ，则集合A与B的关系为________．解析：由集合B＝{}|xxAÎ知，B＝{1，2}．答案：A＝B2．若{}2,|aaRxxＮÆØ，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知，2xa£有解，故0a³．答案：0a³3．已知集合A＝{}2|21,yyxxxR=--?，集合B＝{}|28xx-＃，则集合A与B的关系是________．解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴BA．答案：BA4．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{}2|0xxx+=关系的韦恩(Venn)图是________．解析：由N={}2|0xxx+=，得N={-1，0}，则NM．答案：②5知集合A＝{}|5xx，集合B＝{}|xxa，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析：命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，∴AB，∴a5．答案：a56．已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{x|x＝4a＋1，a∈Z}，判断m＋n属于哪一个集合？解：∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴设n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2(a1＋a2)＋1，而a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B．练习二组1．设a，b都是非零实数，y＝a|a|＋b|b|＋ab|ab|可能取的值组成的集合是________．解析：分四种情况：(1)a0且b0；(2)a0且b0；(3)a0且b0；(4)a0且b0，讨论得y＝3或y＝－1．答案：{3，－1}2．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝________．解析：∵B⊆A，显然m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，∴m＝1．-2-答案：13．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，则P＋Q中元素的个数是________个．解析：依次分别取a＝0，2，5；b＝1，2，6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P＋Q＝{1，2，6，3，4，8，7，11}．答案：84．已知集合M＝{x|x2＝1}，集合N＝{x|ax＝1}，若NM，那么a的值是________．解析：M＝{x|x＝1或x＝－1}，NM，所以N＝∅时，a＝0；当a≠0时，x＝1a＝1或－1，∴a＝1或－1．答案：0，1，－15．满足{1}A⊆{1，2，3}的集合A的个数是________个．解析：A中一定有元素1，所以A有{1，2}，{1，3}，{1，2，3}．答案：36．已知集合A＝{x|x＝a＋16，a∈Z}，B＝{x|x＝b2－13，b∈Z}，C＝{x|x＝c2＋16，c∈Z}，则A、B、C之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：AB＝C7．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|xa}，则“A⊆B”是“a5”的________．解析：结合数轴若A⊆B⇔a≥4，故“A⊆B”是“a5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．设集合M＝{m|m＝2n，n∈N，且m500}，则M中所有元素的和为________．解析：∵2n500，∴n＝0，1，2，3，4，5，6，7，8．∴M中所有元素的和S＝1＋2＋22＋…＋28＝511．答案：5119．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，试求x，y的值．解：由lg(xy)知，xy0，故x≠0，xy≠0，于是由A＝B得lg(xy)＝0，xy＝1．∴A＝{x，1，0}，B＝{0，|x|，1x}．于是必有|x|＝1，1x＝x≠1，故x＝－1，从而y＝－1．11．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，(1)若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；(2)若A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；(3)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．解：由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，(1)∵B⊆A，∴①若B＝∅，则m＋12m－1，即m2，此时满足B⊆A．②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，－2≤m＋1，2m－1≤5.解得2≤m≤3．由①②得，m的取值范围是(－∞，3]．-3-(2)若A⊆B，则依题意应有2m－1m－6，m－6≤－2，2m－1≥5.解得m－5，m≤4，m≥3.故3≤m≤4，∴m的取值范围是[3，4]．(3)若A＝B，则必有m－6＝－2，2m－1＝5，解得m∈∅．，即不存在m值使得A＝B．12．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}．(1)若A是B的真子集，求a的取值范围；(2)若B是A的子集，求a的取值范围；(3)若A＝B，求a的取值范围．解：由x2－3x＋2≤0，即(x－1)(x－2)≤0，得1≤x≤2，故A＝{x|1≤x≤2}，而集合B＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，(1)若A是B的真子集，即AB，则此时B＝{x|1≤x≤a}，故a2．(2)若B是A的子集，即B⊆A，由数轴可知1≤a≤2．(3)若A=B，则必有a=2第二节集合的基本运算练习一组1．设U＝R，A＝{}|0xx，B＝{}|1xx，则A∩∁UB＝____．解析：∁UB＝{x|x≤1}，∴A∩∁UB＝{x|0x≤1}．答案：{x|0x≤1}2．设集合A＝{4，5，7，9}，B＝{3，4，7，8，9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有________个．解析：A∩B＝{4，7，9}，A∪B＝{3，4，5，7，8，9}，∁U(A∩B)＝{3，5，8}．答案：33．已知集合M＝{0，1，2}，N＝{}|2,xxaaM=?，则集合M∩N＝________．解析：由题意知，N＝{0，2，4}，故M∩N＝{0，2}．答案：{0，2}4．设A，B是非空集合，定义AⓐB＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则AⓐB＝________．解析：A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0，2]，所以AⓐB＝(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)5．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：126．已知集合A＝{x|x1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}．(1)当m＝－1时，求A∩B，A∪B；(2)若B⊆A，求m的取值范围．-4-解：(1)当1m=-时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1x≤2}，A∪B＝{x|x≥－1}．(2)若B⊆A，则1m，即m的取值范围为(1，＋∞)练习二1．若集合M＝{x∈R|－3x1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，则M∩N＝________．解析：因为集合N＝{－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－1，0}．答案：{－1，0}2．已知全集U＝{－1，0，1，2}，集合A＝{－1，2}，B＝{0，2}，则(∁UA)∩B＝________．解析：∁UA＝{0，1}，故(∁UA)∩B＝{0}．答案：{0}3．若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，则M∩(∁UN)＝________．解析：根据已知得M∩(∁UN)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x0或x3}＝{x|－2≤x0}．答案：{x|－2≤x0}4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________．解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2，3，4}．答案：{2，3，4}5．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．解析：U＝A∪B中有m个元素，∵(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：m－n6．设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________．解析：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5，7}，B＝{3，6}，∴A∪B＝{1，3，5，6，7}，得∁U(A∪B)＝{2，4，8}．答案：{2，4，8}7．定义A⊗B＝{z|z＝xy＋xy，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，B＝{1，2}，C＝{1}，则集合(A⊗B)⊗C的所有元素之和为________．解析：由题意可求(A⊗B)中所含的元素有0，4，5，则(A⊗B)⊗C中所含的元素有0，8，10，故所有元素之和为18．答案：188．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________．解析：由x＋y－2＝0，x－2y＋4＝0.⇒x＝0，y＝2.点(0，2)在y＝3x＋b上，∴b＝2．9．设全集I＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{2，|a＋1|}，∁IA＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合M的所有子集是________．解析：∵A∪(∁IA)＝I，∴{2，3，a2＋2a－3}＝{2，5，|a＋1|}，∴|a＋1|＝3，且a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2，∴M＝{log22，log2|－4|}＝{1，2}．答案：∅，{1}，{2}，{1，2}10．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．解：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1，2}．-5-(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3；当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a的值为－1或－3．(2)对于集合B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)．∵A∪B＝A，∴B⊆A，①当Δ0，即a－3时，B＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}满足条件；③当Δ0，即a－3时，B＝A＝{1，2}才能满足条件，则由根与系数的关系得1＋2＝－2(a＋1)1×2＝a2－5⇒a＝－52，a2＝7，矛盾．综上，a的取值范围是a≤－3．11．已知函数f(x)＝6x＋1－1的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B．(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；(2)若A∩B＝{x|－1x4}，求实数m的值．解：A＝{x|－1x≤5}．(1)当m＝3时，B＝{x|－1x3}，则∁RB＝{x|x≤－1或x≥3}，∴A∩(∁RB)＝{x|3≤x≤5}．(2)∵A＝{x|－1x≤5}，A∩B＝{x|－1x4}，∴有－42＋2×4＋m＝0，解得m＝8，此时B＝{x|－2x4}，符合题意．12．已知