三角函数的y=Asin(wx+g)的图像与性质

1第3节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其简单应用21.会用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象，理解A、ω、φ的物理意义.2.掌握函数y=Asin(ωx+φ)与y=sinx图象间的变换关系.3.会由函数y=Asin(ωx+φ)的图象或图象特征求函数的解析式.31.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点.如下表所示.0-A0A0x02232x02232)sin(xAy42.函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤如下:个单位长度平移右向左||)(倍的各点的横坐标变为原来1各点的纵坐标变为原来的A倍5倍的各点的横坐标变为原来1个单位长度平移右向左)(各点的纵坐标变为原来的A倍6以上两种方法的区别:方法一先平移再伸缩;方法二先伸缩再平移.特别注意方法二中的平移量.3.当函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,x∈(0,+∞))表示一个振动时，A叫做，叫做，叫做，ωx+φ叫做，φ叫做.振幅2T周期Tf1相位初相频率74.三角函数模型的应用(1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象.(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.8题型一作y=Asin(ωx+φ)的图象已知函数(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.(1)由振幅、周期、初相的定义即可解决.(2)五点法作图，关键是找出与x相对应的五个点.(3)只要看清由谁变换得到谁即可.【例1】),32sin(2xy)32sin(2xy思维启迪题型分类深度剖析9解（1）的振幅A=2,周期)32sin(2xy,22T.3初相:,.sin2)32sin(2,32)2(并描点画出图象列表则令XxyxXXX“五点法作图”应抓住四条：①化为y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的形式；②求出振幅A和周期T=;③列出一个周期内的五个特殊点；④作出指定区间上的图象时，应列出该区间的特殊点.点评点评210方法一把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位,得到的图象,再把的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到的图象,最后把上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到的图象.3)3sin(xy)3sin(xy21)32sin(xy)32sin(xy)32sin(2xy11方法二将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到y=sin2x的图象；再将y=sin2x的图象向左平移个单位；得到的图象；再将的图象上每一点的横坐标保持不变,纵坐标伸长为原来的2倍，得到的图象.216)32sin()6(2sinxxy)32sin(xy)32sin(2xy12（1）作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象；（2）变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用来确定平移单位.探究提高)(xx13题型二求函数y=Asin(ωx+φ)+b的解析式如图为y=Asin（ωx+φ）的图象的一段，求其解析式.首先确定A.若以N为五点法作图中的第一个零点，由于此时曲线是先下降后上升（类似于y=-sinx的图象），所以A0；若以M点为第一个零点,由于此时曲线是先上升后下降（类似于y=sinx的图象），所以A0.而可由相位来确定.【例2】思维启迪,2T14解方法一以N为第一个零点，方法二由图象知A=，)32sin(3,3,026),0,6().2sin(3,2,)365(2,3xyNxywTA所求解析式为点此时解析式为则3).322sin(3.3226503.)0,65(,)0,3(xyPM所求解析式为解之得列方程组为第二个零点为第一个零点以①②15(1)①与②是一致的，由①可得②，事实上同样由②也可得①.(2)由此题两种解法可见，在由图象求解析式时，“第一个零点”的确定是重要的,应尽量使A取正值.(3)已知函数图象求函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0）的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A,由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ,但由图象求得的y=Asin（ωx+φ）（A0,ω0）的解析式一般不惟一，只有限定φ的取值范围，才能得出惟一解，否则φ的值不确定，解析式也就不惟一.探究提高)322sin(3)32sin(3xxy),322sin(3x16（4）将若干个点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ，这里需要注意的是，要认清选择的点属于“五点”中的哪一个位置点，并能正确代入式中.依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是：“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为ωx+φ=0；“第二点”（即图象曲线的最高点）为；“第三点”（即图象下降时与x轴的交点）为ωx+φ=π；“第四点”（即图象曲线的最低点）为；“第五点”为ωx+φ=2π.2x23x171.如图是y=Asin(ωx+φ)的图象的一段，试确定其解析式.知能迁移18因为A=,ω0,T=16ω=.所以y=2sin(x+φ).将N(6,0)视为“五点法”中的第一点，所以×6+φ=0φ=-,所以y=sin(x-).2888342348给出图象确定解析式，A由最值确定，ω由周期确定，φ由最高或最低点确定，当由平衡位置点确定时，根据变化趋势确定“五点中的第一点”，简化运算.点评点评192.函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,|φ|）的一段图象如图所示.（1）求函数y=f(x)的解析式；（2）将函数y=f(x)的图象向右平移个单位，得到y=g(x)的图象，求直线y=与函数y=f(x)+g(x)的图象在(0,π)内所有交点的坐标.24620解（1）由题图知A=2，T=π，于是将y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得y=2sin(2x+φ)的图象.,22T12).62sin(2)(,6122xxf于是).62cos(26)4(2sin2)()2(xxxg依题意得21).6,83()6,245(.π83π245,321223122.12212212,0.23)122sin(,6)122sin(22).122sin(22)62cos(2)62sin(2)()(或所求交点坐标为或或得由故xxxxxxxxxxxxgxfy22题型三函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用（12分）在已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A0,ω0,0φ)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为且图象上一个最低点为(1)求f(x)的解析式；(2)当时，求f(x)的值域.易知T=π，A=2，利用点M在曲线上可求φ，第（2）问由函数图象易解，关键是将ωx+φ看成一个整体.【例3】2,2).2,32(M2,12x思维启迪23解).62sin(2)(,6),2,0().(6112),(2234,1)34sin(,2)322sin(2)2,32(.222,,222.2)2,32()1(xxfkkkkMTTTxAM故又故即在图象上得由点即得的距离为轴上相邻两个交点之间由得由最低点为ZZ1分3分5分6分24认识并理解三角函数的图象与性质是解决此题的关键.图象与x轴的两个相邻交点间的距离即为半个周期.在求函数值域时,由定义域转化成ωx+φ的范围.即把ωx+φ看作一个整体.].2,1[)(,1)(,2,6762;2)(,6,262,67,362,2,12)2(的值域为故取得最小值时即当取得最大值时即当xfxfxxxfxxxx8分10分12分探究提高25方法与技巧1.五点法作函数图象及函数图象变换问题(1)当明确了函数图象基本特征后，“描点法”是作函数图象的快捷方式.运用“五点法”作正、余弦型函数图象时，应取好五个特殊点，并注意曲线的凹凸方向.(2)在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握,无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少.思想方法感悟提高262.由图象确定函数解析式由函数y=Asin（ωx+φ）的图象确定A、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一零点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.3.对称问题函数y=Asin（ωx+φ）的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心,经过该图象上坐标为(x,±A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期（或两个相邻平衡点间的距离）.)0,(27失误与防范1.由函数y=sinx(x∈R)的图象经过变换得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象，在具体问题中，可先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但要注意：先伸缩，后平移时要把x前面的系数提取出来.2.函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质是本节考查的重点，也是高考热点，复习时尽可能使用数形结合的思想方法，如求解对称轴、对称中心和单调区间等.283.注意复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y=Asin（ωx+φ）（A0,ω0）的单调区间的确定，基本思想是把ωx+φ看做一个整体.在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性.291.为了得到函数x∈R的图象，只需把函数y=2sinx,x∈R的图象上所有的点()A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）B.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D.向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）),63sin(2xy63163166基础自测30解析将y=2sinx的图象向左平移个单位得到y=2sin的图象，将y=2sin图象上各点横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），则得到的图象，故选C.答案C6)6(x)6(x)631sin(2xy312.将函数y=sin4x的图象向左平移个单位，得到y=sin(4x+φ)的图象，则φ等于（）A.B.C.D.解析将函数y=sin4x的图象向左平移个单位后得到的图象的解析式为1212331212)12(4sinxy.3),34sin(则xC323.为了得到函数y=sin(2x-)的图象，可以将函数y=cos2x的图象()D6A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度663333y=cos2x=sin(2x+)=sin［2(x+)］，而y=sin(2x-)=sin［2(x-)］,此时(x+)-=x-，所以只需将y=cos2x的图象向右平移+=个单位长度.642