平面几何中的向量方法

2.5平面向量应用举例一、开门见山、复习引入1.向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法。我们要用到如下一些知识：（1）平面向量基本定理：121112,.eeaaee22如果、是同一平面上两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量有且只有一对实数、使（2）两个向量的数量积：（3）向量平行与垂直的判定：1221//(0)0.abbaaxyxy?l观-=rrrrrur1212||||cos.ababxxyyq?=+rrrr121200.ababxxyy^鄯=?=rrrr（4）模与距离：22=aaaxy=?rrr222121||()()ABABABxxyy=?-+-uuuruuuruuur（5）夹角余弦：121222221122cos||||abxxyyabxyxy2.平行、垂直、夹角、距离、全等、相似等，是平面几何中常见的问题，而这些问题都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此，平面几何中的某些问题可以用向量方法来解决，但解决问题的数学思想、方法和技能，需要我们在实践中去探究、领会和总结.下面通过几个具体实例,说明向量方法在平面几何中的运用。探究1：矩形的两条对角线的长度与构成矩形的两条邻边长度之间有什么关系？探究（一）：推断线段长度关系ADCBAC2+BD2=2(AB2+AD2)探究2：如图的平行四边形ABCD中，设，如何用a、b表示?,ABa=uuurADb=uuurACDBuuuruuur与ABCDACabuuur=+DBabuuur=-ab探究3：你能发现平行四边形两条对角线的长度与两条邻边长度之间有什么关系吗？你能证明吗？ABCD22222222222,,b,b,||||,|||b|.||(b)2||2b||ABaADbACaDBaABaADACACaaabbaab===+=-==\==+=+?=+?①uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur证明：设则DBaabb②uuur同理||222||2||=-?观察①②两式的特点我们发现①②得,,+ACDBabABADuuuruuuruuuruuur222222||||2(||||)2(||||)+=+=+即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.abAC2+DB2=2（AB2+AD2)探究4：如果不用上面的方法你还有其他的证明方法吗？222222|DB|(a-b)-ca-2abbc,uuur（）ABCDxy方法二：以A为坐标原点,AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c).22222AC=a+cbDB=a-b-c|AB|=a|AD|=bc+uuuruuuruuuruuur（，）（，）2222222||+|DB|2a2b+c2|AB||AD|ACuuuruuuruuuruuur（）（）222222||(a)ca2abbc,ACb\=++=+++uuur探究5：以上的两种方法分别用了向量的基向量法和坐标法（解析法）证明，如果只用几何法，你能不能证明？ABCD方法三：作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,则Rt△ADF≌Rt△BCE.∴AD=BC,AF=BE.FEBD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2=AB2-2AB·AF+AF2+DF2=AB2-2AB·AF+AD2=AB2-2AB·BE+BC2.∴AC2+BD2=2(AB2+BC2).由于AC2=AE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2AB·BE+BE2+CE2=AB2+2AB·BE+BC2.探究6：对比上面的解题方法，明显向量法比几何法简单，那么大家总结一下，向量法解几何问题有哪些步骤？1、“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；2、简述为：几何问题向量化向量运算关系化向量关系几何化(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系。已知：四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O.用向量法证明：AC⊥BD探究（二）：推断直线的位置关系ABCDO分析：本题用三种方法都容易证明，但是强调用向量法证明，可采用基向量法或坐标法。要证AC⊥BD，只需证明uuuruuur0ACBD?探究1、在等腰三角形ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，若CD⊥BE，则∠A是否确定？如果确定，请求出∠A的余弦值，如果不确定，请说明理由。探究（三）：计算夹角大小猜想：确定ABCDE探究2：设向量a，b，可以利用哪个向量原理求∠A的大小？ABACcos||||abAab·=·探究3：于是你想到该如何证明？AB=,AC=||||11,22CDBE11()()022ababCDabBEbaCDBEabba且：设=uuuruuuruuuruuurQuuuruuur=-=-^\?-?=则证明ab22224· ()554 cos||||5ababaabAab=+=×\==得到如图，□ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？典例精析AR=RT=TC猜想：分析：由于R、T是对角线AC上的两点，要判断AR、RT、TC之间的关系，只需分别判断AR、RT、TC与AC的关系即可。如图，□ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ABCDEFRTba解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题。ABaADbARrATtACab,,,,=====+uuuruuuruuuruuuruuur设则ABCDEFRTba第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系(),1,21()2ARACARnACrnabnREBABAEabEREBERmEBmab\==+?=-=-\==-uuuruuuruuuruuurQuuuruuuruuuruuuruuurQuuuruuur与共线设即又与共线设111()222ARAEERmrbmabmabuuuruuuruuurQ=+-\=+-=+又1()21()()02mnabmabmnmanb-\+=+--++=即ABCDEFRTba01130213abnmnmmnARACuuuruuurì-=ï?=í-+=ïî\=由于与不共线，于是11TC,33ACRTACuuuruuuruuuruuur==同理于是1()21()()02mnabmabmnmanb-\+=+--++=即第三步，把运算结果“翻译”成几何关系；所以AR=RT=TC归纳小结，反思建构1、向量法解题的基本思路是几何问题向量化向量运算关系化向量关系几何化2、用向量方法研究几何问题，需要用向量的观点看问题，将几何问题化归为向量问题来解决.它既是一种数学思想，也是一种数学能力.其中合理设置向量，并建立向量关系，是解决问题的关键.3、本节都学习了哪些数学方法:向量法---基向量法与坐标法，待定系数法，向量法与几何法比较,将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法,深切体会向量的工具性这一特点.课后作业，巩固加深PACQBa1、必做题：P113习题2.5A组1、2题；2、选做题：RtABCBC=PQAPQBCBPCQuuuruuuruuuruuurq·如图，在△中，已知a.若长为2a的线段以点为中点，问：与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值。