多元函数微分学

§1可微性与偏导数本节首先讨论二元函数的可微性,这是多元函数微分学最基本的概念.然后给出对单个自变量的变化率,即偏导数.偏导数无论在理论上或在应用上都起着关键性的作用.四、可微性的几何意义及应用一、可微性与全微分二、偏导数三、可微性条件应用一元函数y=f(x)的微分)(xoxAyxxfy)(d近似计算估计误差回忆：一元函数y=f(x)可微的定义一、可微性与全微分定义1设函数0(,)()zfxyUP在某邻域内有定000(,)(,)(),PxyxxyyUP义.对于若f在0P:z可表示为的全增量0000(,)(,)(),zfxxyyfxyAxByo(1)0P22,xy其中A,B是仅与点有关的常数,()o是0P的高阶无穷小量,则称f在点可微.并称(1)式中关于,xyAxBy的线性表达式||,||xydz由(1),(2)可见,当充分小时,全微分(,)(0,0)(,)(0,0)limlim0.xyxy这里,zAxByxy(4)000d|d(,).PzfxyAxBy(2)0fP在为的全微分,记作z可作为全增量的近似值,于是有近似公式:在使用上,有时也把(1)式写成如下形式：0000(,)(,)()().fxyfxyAxxByy(3)评注：的线性函数；与是yxdz)1(；即高阶无穷小量之差是比与0lim:,)2(0dzzdzz)()3(yBxAz0limlim:)0,0(),()0,0(),(yxyx其中yxyBxAz)()(),(),(0000yyBxxAyxfyxfdzzyx,,)4(充分小时当事实上),(oyBxAz,0lim0z),(lim00yyxxfyx]),([lim0zyxf),(yxf故函数),(yxfz在点),(yx处连续.(5)如果函数),(yxfz在点),(yx可微分,则函数在该点连续.函数若在某区域D内各点处处可微分，则称这函数在D内可微分.的全增量为处函数在点解fyx),(00000000))((),(yxyyxxyxfyxyxxy0022yxyxyx由于yxyx22yx0),(0yx且可微在从而因此,),().(00yxfyxyxxydf00例1考察00(,)(,).fxyxyxy在任一点的可微性二、偏导数由一元函数微分学知道:若0(),fxx在可微则00()()(),fxxfxAxox其中0().Afx(,)fxy00(,)xy现在来讨论:当二元函数在点可微时,(1)式中的常数A,B应取怎样的值？为此在(4)式中先令0(0),yxf这时得到关x于的偏增量为.xxzzAxxAx或0,xA现让由上式便得的一个极限表示式000000(,)(,)limlim.xxxzfxxyfxyAxx(5)容易看出,(5)式右边的极限正是关于x的一元函数00(,).fxyxx在处的导数类似地,(4)0(0),xy在式中令又可得到000000(,)(,)limlim,yyyzfxyyfxyByy(6)它是关于y的一元函数00(,).fxyyy在处的导数二元函数当固定其中一个自变量时,它对另一个自变量的导数称为该函数的偏导数,一般定义如下:定义设函数),(yxfz在点),(00yx的某一邻域内有定义，当y固定在0y而x在0x处有增量x时，相应地函数有偏增量),(),(0000yxfyxxf，如果xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数，记为00yyxxxz，00yyxxxf，00yyxxxz或),(00yxfx.函数对x的偏增量二、偏导数同理可定义函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数为yyxfyyxfy),(),(lim00000记为00yyxxyz，00yyxxyf，00yyxxyz或),(00yxfy..),(),(lim0000000xxyxfyxfxfxxyyxx注1,xy这里是专用于偏导数的符号,与一元ddx函数的导数符号相仿,但又有区别.注2在上述定义中,00(,)fxy在点存在对x(或y),f的偏导数此时至少在00(,),||xyyyxx00(,),||.xyxxyy或上必须有定义显然，在定义域的内点处总能满足这种要求，而在界点处则往往无法考虑偏导数．如果函数),(yxfz在区域D内任一点),(yx处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数),(yxfz对自变量x的偏导函数，记作xz，xf，xz或),(yxfx.同理可定义函数),(yxfz对自变量y的偏导数，记作yz，yf，yz或),(yxfy.xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0偏导数的定义xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000偏导数的符号00yyxxxz00yyxxxf00yyxxxz),(00yxfxxzxfxz或),(yxfx偏导函数xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0偏导函数的符号偏导数的概念可以推广到二元以上函数),,,(zyxfu例如，处，在),,(zyx,),,(),,(lim),,(0xzyxfzyxxfzyxfxx,),,(),,(lim),,(0yzyxfzyyxfzyxfyy.),,(),,(lim),,(0zzyxfzzyxfzyxfzz1.由偏导数定义知,所谓f(x,y)对x的偏导数,就是将y看作常数,将f(x,y)看作一元函数来定义的.注因此,在实际计算时,求f'x(x,y)时,只须将y看作常数,用一元函数求导公式求即可.求f'y(x,y)时,只须将x看作常数,用一元函数求导公式求即可.2.f'x(x0,y0)就是f'x(x,y),在点(x0,y0)的值.算f'x(x0,y0)可用3种方法:f'y(x0,y0)f'y(x,y)f'y(x0,y0)(1)用定义算.(2)先算f'x(x,y),再算f'x(x0,y0)f'y(x,y),f'y(x0,y0).(3)先算f(x,y0),再算f'x(x,y0)f'x(x0,y0)f(x0,y),f'y(x0,y),f'y(x0,y0).xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000偏导数的几何意义:(,)zfxy的几何图象通常是三维空间中的曲面,设0000(,,)Pxyz为此曲面上一000(,).zfxy00,Pyy过点作平面它与点,其中曲面相交得一曲线：0:,(,).CyyzfxyxyzO0P图17-10y(,)zfxyC如图17-1所示，偏导数00(,)xfxy的几何意义为:在平面0yy上,曲线C在点P0处的切线与x轴00(,)tan.xfxy正向所成倾角的正切，即xyzO0P图17-10y(,)zfxyC偏导数的几何意义zf(xy0)zf(x0y)偏导数),(00yxfx就是曲面被平面0yy所截得的曲线在点0M处的切线xTM0对x轴的斜率.偏导数),(00yxfy就是曲面被平面0xx所截得的曲线在点0M处的切线yTM0对y轴的斜率.由偏导数的定义还知道,多元函数f对某一个自变量求偏导数,是先把别的自变量看作常数,变成一元函数的求导.因此第五章中有关求导数的一些基本法则,对多元函数求偏导数仍然适用.例2323(,)2(1,3)fxyxxyy求函数在点处关于x和关于y的偏导数.解先求f在点(1,3)处关于x的偏导数.为此,令y=3,得到32(,3)627,fxxx求它在x=1的导y=3,得到32(,3)627,fxxx求它在x=1的导数,则得211d(,3)(1,3)(312)15.dxxxfxfxxx再求f在(1,3)处关于y的偏导数.为此令x=1,得3(1,)12,fyyy求它在y=3处的导数,又得233d(1,)(1,3)2325.dyyyfyfyy通常也可先分别求出关于x和y的偏导函数:222(,)34,(,)23.xyfxyxxyfxyxy然后以(x,y)=(1,3)代入,也能得到同样结果.例3求函数(0)yzxx的偏导数.解把yzx依次看成幂函数和指数函数,分别求得1,ln.yyzzyxxxxy例4求三元函数2sin(e)zuxy的偏导数.解把y和z看作常数,得到2cos(e);zuxyx22cos(e);zuyxyy2ecos(e).zzuxyz把z,x看作常数,得到把x,y看作常数,得到练习求223yxyxz在点)2,1(处的偏导数．解xz;32yxyz.23yx21yxxz,8231221yxyz.72213把y看成常量把x看成常量练习求yxz2sin2的偏导数．解xz;2sin2yxyz.2cos22yx把y看成常量把x看成常量偏导数xu是一个整体记号，不能拆分;有关偏导数的几点说明：１、２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；).0,0(),0,0(,),(,yxffxyyxfz求设例如解xxfxx0|0|lim)0,0(00).0,0(yf例6设0,0,0,),(222222yxyxyxxyyxf。求).,(),,(yxfyxfyx解时，当022yx时，且即00yx22222)(2)(yxxyxyxy,)()(22222yxxyy).,()1(yxfx先求xxyxxyyxf22),(xfxfx)0,0()0,0(lim0.000lim0xx于是，.0,0,0,)()(),(222222222yxyxyxxyyyxfx考虑点(0,0)对x的偏导数，时，当022yx时，且即00yx22222)(2)(yxxyyyxx).,()2(yxfy求yyyxxyyxf22),(,)()(22222yxyxxyfyfy)0,0()0,0(lim0.000lim0yy于是，.0,0,0,)()(),(222222222yxyxyxyxxyxfy考虑点(0,0)对x的偏导数，偏导数存在与连续的关系例如，函数.0,0,0,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在)0,0(处，0)0,0()0,0(yxff.但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.一元函数中在某点可导多元函数中在某点偏导数存在连续。连续。从几何上看,f'x(x0,y0)存在.只保证了一元函数f(x,y0)在x0连续.即y=y0与z=f(x,y)的截线1在M0=(x0,y0,z0)是连续的.同理,f'y(x0,y0)存在.只保证了x=x0与z=f(x,y)的截线2在M0连续.但都不能保证曲面z=f(x,y)在M0连续.也就是连续这是因为所谓曲面在,0M0000(,)(,)lim(,)(,).xyxyfxyfxy