三角函数图像和性质习题课(含答案)

三角函数的图像和性质习题课例1．若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)是偶函数，则φ满足的条件是______．解析y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数，即关于y轴对称∴sinφ＝±1，∴φ＝kπ＋π2(k∈Z)．例2．函数y＝sin2x的图象向右平移φ个单位(φ0)得到的图象恰好关于x＝π6对称，则φ的最小值为________．解析y＝sin2x向右平移φ个单位得y＝sin(2x－2φ)x＝π6是一条对称轴，则2×π6－2φ＝kπ＋π2(k∈Z∴φ＝kπ2－π12(k∈Z)，∴φ的最小值为5π12.例3．将函数y＝sin(2x＋θ)|θ|π2的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y＝sin2x＋π5的图象，则θ的值为________．解析设f(x)＝sin(2x＋θ)，则fx＋π4＝sin2x＋π4＋θ＝sin2x＋π2＋θ.由已知，fx＋π4＝sin2x＋π5.∴π2＋θ＝π5，∴θ＝－3π10.例4．设ω0为常数，函数y＝2sinωx在－π3，π4上单调递增，则实数ω的取值范围是__________．答案0ω≤32例5．关于f(x)＝4sin2x＋π3(x∈R)，有下列命题(1)由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；(2)y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos2x－π6；(3)y＝f(x)图象关于－π6，0对称；(4)y＝f(x)图象关于x＝－π6，对称．其中正确命题的序号为________．(将你认为正确的都填上)解析对于①，由f(x)＝0，可得2x＋π3＝kπ(k∈Z)．∴x＝k2π－π6(k∈Z)，∴x1－x2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f(x)＝4sin2x＋π3利用公式得：f(x)＝4cosπ2－2x＋π3＝4cos2x－π6.∴②对；对于③，f(x)＝4sin2x＋π3的对称中心满足2x＋π3＝kπ(k∈Z)，∴x＝k2π－π6(k∈Z)，∴－π6，0是函数y＝f(x)的一个对称中心．∴③对；对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋π3＝π2＋kπ(k∈Z)，∴x＝π12＋kπ2(k∈Z)．∴④错．例6．(创新拓展)已知f(x)＝－sin2x＋sinx＋a，(1)当f(x)＝0有实数解时，求a的取值范围；(2)当x∈R，有1≤f(x)≤174，求a的取值范围．解(1)由f(x)＝0，有a＝sin2x－sinx＝sinx－122－14.当sinx＝－1时，amax＝2；当sinx＝12时，amin＝－14.∴a∈－14，2.(2)由1≤f(x)≤174有1≤－sin2x＋sinx＋a≤174，即a≤sin2x－sinx＋174和a≥sin2x－sinx＋1对k∈R恒成立．由sin2x－sinx＋174＝sinx－122＋4≥4，得a≤4.由sin2x－sinx＋1＝sinx－122＋34≤3，得a≥3.故3≤a≤4.练习：1．函数y＝3sin12x－π4的周期是________，振幅是________，当x＝________时，ymax＝________；当x＝________时，ymin＝________.答案4π34kπ＋32π(k∈Z)34kπ－π2(k∈Z)－32．把函数y＝sinx＋π4的图象向________，可以得到函数y＝sinx－π6的图象．解析由y＝sinx＋π4，而y＝sinx－π6＝sin（x－5π12＋π4），即将y＝sinx＋π4向右平移5π12个单位，得y＝sinx－π6.3．将正弦曲线y＝sinx上各点向左平移π3个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象解析式为______________．解析由y＝sinx向左平移π3得y＝sinx＋π3，再把横坐标伸长到原来的2倍，得y＝sinx2＋π3.4．函数y＝3－sinx3＋sinx的值域为____________．答案12，25．求函数y＝3－4sinx－4cos2x的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x的值．解y＝3－4sinx－4cos2x＝4sin2x－4sinx－1＝4sinx－122－2，令t＝sinx，则－1≤t≤1，∴y＝4t－122－2(－1≤t≤1)∴当t＝12，即x＝π6＋2kπ或x＝5π6＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－2；当t＝－1，即x＝3π2＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝7.6．函数y＝asinx＋π6＋b的值域为－12，92，求a的值，以及原函数的单调递增区间．解(1)当a0时，－a＋b＝－12a＋b＝92∴a＝52，b＝2，∴y＝52sinx＋π6＋2.又∵－π2＋2kπ≤x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z.∴－2π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ，k∈Z.∴原函数的单调递增区间为－23π＋2kπ，π3＋2kπ，k∈Z.(2)当a0时，a＋b＝－12－a＋b＝92∴a＝－52，b＝2.∴y＝－52sinx＋π6＋2.又∵π2＋2kπ≤x＋π6≤32π＋2kπ，k∈Z.∴π3＋2kπ≤x≤43π＋2kπ，k∈Z.∴原函数的单调递增区间为π3＋2kπ，43π＋2kπ，k∈Z.7．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)上的一个最高点的坐标为π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点38π，0，若φ∈－π2，π2.(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．解(1)由题意知A＝2，T＝4×38π－π8＝π，ω＝2πT＝2，∴y＝2sin(2x＋φ)．又∵sinπ8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，∴φ＝2kπ＋π4，k∈Z，又∵φ∈－π2，π2，∴φ＝π4.∴y＝2sin2x＋π4.(2)列出x、y的对应值表：x－π8π838π58π78π2x＋π40π2π32π2πy020－20描点，连线，如图所示：8．(创新拓展)已知函数f(x)＝2cosωx(ω0)，且函数y＝f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为π2.(1)求fπ8的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．解(1)函数y＝f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为π2∴T＝2×π2＝π，∴ω＝2πT＝2ππ＝2，∴f(x)＝2cos2x，则fπ8＝2cosπ4＝2.(2)由(1)知f(x)＝2cos2x，向右平移π6个单位得y＝2cos2x－π3再将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，得g(x)＝2cos12x－π3由2kπ≤12x－π3≤2kπ＋π，k∈Z得4kπ＋2π3≤x≤4kπ＋8π3，k∈Z即函数g(x)＝2cos12x－π3的递减区间为4kπ＋2π3，4kπ＋8π3，k∈Z.