三角函数的图像与性质专题(含解析)

既然选择了远方，就必须风雨兼程！——————————————————————————————————————————————————摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。1第讲三角函数的图像与性质时间：年月日刘老师学生签名：一、兴趣导入二、学前测试1．已知角的终边上一点的坐标为22(sin,cos)33，则角的最小正角是（）A、56B、23C、53D、116解析．D［角在第四象限且2cos33tan23sin3］2．若是第二象限的角，且|cos|cos22，则2是（）A、第一象限角B、第二象限角C、第三象限角D、第四象限角解析C22,(),,(),2422kkkZkkkZ当2,()knnZ时，2在第一象限；当21,()knnZ时，2在第三象限；而coscoscos0222，2在第三象限；3已知角的终边与函数)0(,0125xyx决定的函数图象重合，求sin1tan1cos=既然选择了远方，就必须风雨兼程！——————————————————————————————————————————————————摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。2解析:在角的终边上取点1255(12,5),13,cos,tan,sin131213Pr故sin1tan1cos=77134.（湛江市实验中学2010届高三第四次月考）已知35cos，且角在第一象限，那么2在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：B32225242coskk，4242kk故2在第二象限.三、方法培养1．“五点法”描图(1)y＝sinx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)π2，1(π，0)32π，－1(2π，0)(2)y＝cosx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)2.三角函数的图象和性质函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：__x＝kπ＋π2(k∈Z)___；对称中心：_(kπ，0)(k∈Z)___对称轴：x＝kπ(k∈Z)___；对称中心：_(kπ＋π2，0)(k∈Z)__对称中心：_kπ2，0(k∈Z)__周期2π_2ππ单调性单调增区间_[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)___；单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)____；单调减区间[2kπ，2kπ单调增区间_(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)___既然选择了远方，就必须风雨兼程！——————————————————————————————————————————————————摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。3单调减区间[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)__＋π](k∈Z)______奇偶性奇函数偶函数奇函数3.一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)对函数周期性概念的理解周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数.如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期.函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.4.求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sinx、cosx的有界性；关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1，所以1叫做y＝sinx，y＝cosx的上确界，－1叫做y＝sinx，y＝cosx的下确界.(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y＝sin2x－4sinx＋5，令t＝sinx(|t|≤1)，则y＝(t－2)2＋1≥1，解法错误.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号)(1)y＝sin2x－π4；(2)y＝sinπ4－2x.☆专题1：三角函数的单调性与周期性既然选择了远方，就必须风雨兼程！——————————————————————————————————————————————————摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。4函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.例1变式练习1(2011·南平月考)(1)求函数y＝sinπ3－2x，x∈[－π，π]的单调递减区间；(2)求函数y＝3tanπ6－x4的周期及单调区间．解(1)由y＝sinπ3－2x，既然选择了远方，就必须风雨兼程！——————————————————————————————————————————————————摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。5得y＝－sin2x－π3，由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z，又x∈[－π，π]，∴－π≤x≤－712π，－π12≤x≤512π，1112π≤x≤π.∴函数y＝sinπ3－2x，x∈[－π，π]的单调递减区间为－π，－712π，－π12，512π，1112π，π.(2)函数y＝3tanπ6－x4的周期T＝π－14＝4π.由y＝3tanπ6－x4得y＝－3tanx4－π6，由－π2＋kπx4－π6π2＋kπ得－43π＋4kπx83π＋4kπ，k∈Z，∴函数y＝3tanπ6－x4的单调递减区间为－43π＋4kπ，83π＋4kπ(k∈Z)．☆专题2：与三角函数有关的函数定义域问题例2求下列函数的定义域：(1)y＝lgsin(cosx)；(2)y＝sinx－cosx.解(1)要使函数有意义，必须使sin(cosx)0.∵－1≤cosx≤1，∴0cosx≤1.利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0OM≤1，∴OM只能在x轴的正半轴上，∴其定义域为{x|－π2＋2kπxπ2＋2kπ，k∈Z}.(2)要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示.在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为x|π4＋2kπ≤x≤5π4＋2kπ，k∈Z.变式训练2(1)求函数y122logtanxx的定义域.既然选择了远方，就必须风雨兼程！——————————————————————————————————————————————————摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。6要使函数有意义则2＋log12x≥0，x0，tanx≥0，x≠kπ＋π2，k∈Z⇒0x≤4，kπ≤xkπ＋π2k∈Z.利用数轴可得图②图②∴函数的定义域是{x|0xπ2或π≤x≤4}.☆专题3：三角函数的图像及变换既然选择了远方，就必须风雨兼程！——————————————————————————————————————————————————摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。7例3已知函数y＝2sin2x＋π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y＝2sin2x＋π3的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．解题导引(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两边伸展一下，以示整个定义域上的图象；(2)变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ωx＋φω来确定平移单位．解(1)y＝2sin2x＋π3的振幅A＝2，周期T＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X＝2x＋π3，则y＝2sin2x＋π3＝2sinX.列表：X－π6π12π37π125π6X0π2π3π22πy＝sinX010－10y＝2sin2x＋π3020－20描点连线，得图象如图所示：(3)将y＝sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x的图象；再将y＝sin2x的图象向左平移π6个单位，得到y＝sin2x＋π6＝sin2x＋π3的图象；再将y＝sin2x＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin2x＋π3的图象．变式练习3设f(x)＝12cos2x＋3sinxcosx＋32sin2x(x∈R)．(1)画出f(x)在－π2，π2上的图象；(2)求函数的单调增减区间；(3)如何由y＝sinx的图象变换得到f(x)的图象？解y＝12·1＋cos2x2＋32sin2x＋32·1－cos2x2＝1＋32sin2x－12cos2x＝1＋sin2x－π6.(1)(五点法)设X＝2x－π6，则x＝12X＋π12，令X＝0，π2，π，3π2，2π，于是五点分别为π12，1，π3，2，7π12，1，5π6，0，13π12，1，描点连线即可得图象，如下图．既然选择了远方，就必须风雨兼程！——————————————————————————————————————————————————摒弃侥幸之念，必取百炼成钢；厚积分秒之功，始得一鸣惊人。8(2)由－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ，k∈Z，得单调增区间为－π6＋kπ，kπ＋π3，k∈Z.由π2＋2kπ≤2x－π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，得单调减区间为π3＋kπ，kπ＋5π6，k∈Z.(3)把y＝sinx的图象向右平移π6个单位；再把横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)；最后把所得图象向上平移1个单位即得y＝sin2x－π6＋1的图象．四、强化练习一、选择题1．(2010·十堰月考)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A0，ω0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω为()A．1B．2C．3D．42．函数y＝sin2x＋π3图象的对称轴方程可能是()A．x＝－π6B．x＝－π12C．x＝π6D．x＝π123．(2010·湖北)函数f(x)＝3sinx2－π4，x∈R的最小正周期为()A.π2B．πC．2πD．4π4．(2010·北京海淀高三上学期期中考试)函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos2x的最小正周期为()A．4πB．3πC．2πD．π5．如果函数y＝