2015高考数学试题分类汇编-三角函数及解三角

专题三三角函数1.（15北京理科）已知函数2()2sincos2sin222xxxfx．(Ⅰ)求()fx的最小正周期；(Ⅱ)求()fx在区间[π0]，上的最小值．【答案】（1）2，（2）212【解析】试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为()sin()fxAxm形式，再利用周期公式2T求出周期，第二步由于0,x则可求出3444x，借助正弦函数图象找出在这个范围内当42x，即34x时，()fx取得最小值为：212.试题解析：(Ⅰ)211cos()2sincos2sin2sin222222xxxxfxx222sincos222xx2sin()42x(1)()fx的最小正周期为221T；(2)30,444xx，当3,424xx时，()fx取得最小值为：212考点：1.三角函数式的恒等变形；2.三角函数图像与性质.2.（15北京文科）已知函数2sin23sin2xfxx．（Ⅰ）求fx的最小正周期；（Ⅱ）求fx在区间20,3上的最小值．【答案】（1）2；（2）3.考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值.3.（15年广东文科）已知tan2．1求tan4的值；2求2sin2sinsincoscos21的值．【答案】（1）3；（2）1．考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.4.（15年安徽文科）已知函数2()(sincos)cos2fxxxx（1）求()fx最小正周期；（2）求()fx在区间[0,]2上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值为12，最小值为0考点：1.三角函数的性质；2.三角函数的最值.5.（15年福建理科）已知函数f()x的图像是由函数()cosgxx=的图像经如下变换得到：先将()gx图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2p个单位长度.(Ⅰ)求函数f()x的解析式，并求其图像的对称轴方程；(Ⅱ)已知关于x的方程f()g()xxm+=在[0,2)p内有两个不同的解,ab．（1)求实数m的取值范围；（2)证明：22cos)1.5mab-=-(【答案】(Ⅰ)f()2sinxx=，(kZ).2xkpp=+?；(Ⅱ)（1）(5,5)-；（2）详见解析．【解析】试题分析：(Ⅰ)纵向伸缩或平移：()()gxkgx或()()gxgxk；横向伸缩或平移：()()gxgx（纵坐标不变，横坐标变为原来的1倍），()()gxgxa(0a时，向左平移a个单位；0a时，向右平移a个单位)；(Ⅱ)（1)由(Ⅰ)得f()2sinxx=，则f()g()2sincosxxxx+=+，利用辅助角公式变形为f()g()xx+5sin()xj=+（其中12sin,cos55jj==），方程f()g()xxm+=在[0,2)p内有两个不同的解,ab，等价于直线ym和函数5sin()yxj=+有两个不同交点，数形结合求实数m的取值范围；（2)结合图像可得+=2()2pabj-和3+=2()2pabj-，进而利用诱导公式结合已知条件求解．试题解析：解法一：(1)将()cosgxx=的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y2cosx=的图像，再将y2cosx=的图像向右平移2p个单位长度后得到y2cos()2xp=-的图像，故f()2sinxx=，从而函数f()2sinxx=图像的对称轴方程为(kZ).2xkpp=+?(2)1)21f()g()2sincos5(sincos)55xxxxxx+=+=+5sin()xj=+（其中12sin,cos55jj==）依题意，sin()=5mxj+在区间[0,2)p内有两个不同的解,ab当且仅当||15m，故m的取值范围是(5,5)-.2)因为,ab是方程5sin()=mxj+在区间[0,2)p内有两个不同的解，所以sin()=5maj+，sin()=5mbj+.当1m5£时，+=2(),2();2pabjabpbj--=-+当5m1-时,3+=2(),32();2pabjabpbj--=-+所以2222cos)cos2()2sin()12()11.55mmabbjbj-=-+=+-=-=-(解法二：(1)同解法一.(2)1)同解法一.2)因为,ab是方程5sin()=mxj+在区间[0,2)p内有两个不同的解，所以sin()=5maj+，sin()=5mbj+.当1m5£时，+=2(),+();2pabjajpbj-=-+即当5m1-时,3+=2(),+3();2pabjajpbj-=-+即所以cos+)cos()ajbj=-+(于是cos)cos[()()]cos()cos()sin()sin()abajbjajbjajbj-=+-+=+++++(22222cos()sin()sin()[1()]()1.555mmmbjajbj=-++++=--+=-考点：1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式．6.（15年福建文科）若5sin13，且为第四象限角，则tan的值等于（）A．125B．125C．512D．512【答案】D【解析】试题分析：由5sin13，且为第四象限角，则212cos1sin13，则sintancos512，故选D．考点：同角三角函数基本关系式．7.（15年福建文科）已知函数2103sincos10cos222xxxfx．（Ⅰ）求函数fx的最小正周期；（Ⅱ）将函数fx的图象向右平移6个单位长度，再向下平移a（0a）个单位长度后得到函数gx的图象，且函数gx的最大值为2．（ⅰ）求函数gx的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x，使得00gx．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）（ⅰ）10sin8gxx；（ⅱ）详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将fx化为()10sin56fxx，然后利用2T求周期；（Ⅱ）由函数fx的解析式中给x减6，再将所得解析式整体减去a得gx的解析式为10sin5gxxa，当sinx取1的时，gx取最大值105a，列方程求得13a，从而gx的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数0x，使得00gx，可解不等式00gx，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数0x．试题解析：（I）因为2103sincos10cos222xxxfx53sin5cos5xx10sin56x．所以函数fx的最小正周期2．（II）（i）将fx的图象向右平移6个单位长度后得到10sin5yx的图象，再向下平移a（0a）个单位长度后得到10sin5gxxa的图象．又已知函数gx的最大值为2，所以1052a，解得13a．所以10sin8gxx．（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x，使得00gx，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x，使得010sin80x，即04sin5x．由4352知，存在003，使得04sin5．由正弦函数的性质可知，当00,x时，均有4sin5x．因为sinyx的周期为2，所以当002,2xkk（k）时，均有4sin5x．因为对任意的整数k，00022213kk，所以对任意的正整数k，都存在正整数002,2kxkk，使得4sin5kx．亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x，使得00gx．考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．8.（15年新课标1理科）sin20°cos10°-con160°sin10°=（A）32（B）32（C）12（D）12【答案】D【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12，故选D.9.(15年新课标1理科)函数f(x)=的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为(A)（）,k(b)（）,k(C)（）,k(D)（）,k【答案】B10.（15年陕西理科）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6yxk，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5B．6C．8D．10【答案】C【解析】试题分析：由图象知：min2y，因为min3yk，所以32k，解得：5k，所以这段时间水深的最大值是max3358yk，故选C．考点：三角函数的图象与性质．11.（15年陕西文科）如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y＝3sin(6x＋Φ)＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________.【答案】8【解析】试题分析：由图像得，当sin()16x时min2y，求得5k，当sin()16x时，max3158y，故答案为8.考点：三角函数的图像和性质.12.（15年天津理科）已知函数22sinsin6fxxx，Rx(I)求()fx最小正周期；(II)求()fx在区间[,]34pp-上的最大值和最小值.【答案】(I);(II)max3()4fx,min1()2fx.考点：1.两角和与差的正余弦公式；2.二倍角的正余弦公式；3.三角函数的图象与性质.13.（15年天津文科）已知函数sincos0,,fxxxxR若函数fx在区间,内单调递增,且函数fx的图像关于直线x对称,则的值为．【答案】π2【解析】试题分析：由fx在区间,内单调递增,且fx的图像关于直线x对称,可得π2,且222πsincos2sin14f,所以2πππ.422考点：三角函数的性质.14.（15年湖南理科）A.512B.3C.4D.6【答案】D.【解析】试题分析：向右平移个单位后，得到)22sin()(xxg，又∵2|)()(|21xgxf，∴不妨kx2221，mx22222，∴)(221mkxx，又∵12min3xx，∴632，故选D.考点：三角函数的图象和性质.10.（15年江苏）已知tan2，1tan7，则tan的值为_______.【答案】3【解析】试题分析：12tan()tan7tantan()3.21tan()tan17考点：两角差正切公式11.（15年江苏）在ABC中，已知60,3,2AACAB.（1）求BC的长；（2）求C2sin的值.【答案】（1）7（2）437【解析】考点：余弦定理，二倍角公式专题四解三角形1.（15北京理科）在ABC△中，4a，5b，6c，则sin2sinAC．【答案】1【解析】试题分析：222sin22sincos2sinsin2AAAabcaCCcbc2425361616256考点：正弦定理、余弦定理2.（15北京文科）在C中，3a，6b，23，则．【答案】4【解析】试题分析：由正弦定理，得sinsinabAB，即36sin32B，所以2si