三维-势阱的研究

三维δ势阱的研究摘要：本文重点对一维、二维及三维势阱进行了较为详细的讨论。其中一维势阱包括无限深方势阱和一维δ势阱，二维情形则主要对方势阱进行了相关的讨论，三维势阱的讨论包括球方势阱以及三维δ势阱的一种特殊情况。讨论的过程中，在深刻理解一维、二维和三维势阱的基础上，通过与自由粒子平面波的相类似的方式，在量子力学范畴内建立合适的球面波函数，进而重点讨论三维δ势阱具有球对称性的S态，得出该问题的严格解析解。关键词：一维δ势阱；三维δ势阱；球面波1目录引言................................................................11.相关量子力学知识..................................................22.一维势阱.........................................................22.1.一维无限深势阱..................................................22.2.一维势阱......................................................43.二维势阱..........................................................63.1.势阱的波函数....................................................63.2二维方势阱......................................................83.3几种特殊情况....................................................84.三维势阱..........................................................94.1.无限深球方势阱..................................................94.2三维δ势阱......................................错误!未定义书签。参考文献...........................................................14英文摘要...........................................................15致谢...............................................................152引言势阱是量子力学的基本模型之一，近年来对于它的讨论在涉及以量子力学为基础的各个领域中都取得了很大的成就[1,2]。正确理解势阱的概念，并对诸如由一维到三维、由简单到复杂等情形作较为深入地探讨与推广，对于量子力学的学习与理解具有非常重要的作用。本科阶段对量子力学的学习主要是侧重于对基本概念的理解与基本方法的把握，从这个层面来看，对于较为复杂势阱的研究有相当大的难度。本文在对量子力学中已有模型讨论方法进行深刻理解的基础之上，来尝试对较为复杂的势阱的特例——三维δ势阱具有球对称性的S态——进行讨论，力图给出该模型势阱的解析解，为进一步普遍性地求解三维δ势阱，提供一定的理论基础。1.相关量子力学知识一个微观粒子的量子态用波函数),(tr来描述，当),(tr确定后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测值几率的分布都可以完全确[1,2]。因此，量子力学中最核心的问题就是要解决波函数),(tr如何随时间演化，以及在各种具体情况下找出描述体系状态的各种可能的波函数。在此基础上，引入薛定谔方程),()(2),(22trxVmtrti(1.1)它揭示了微观世界中物质运动的基本规律。2一维势阱2.1一维无限深势阱粒子在一维力场作用下运动，它的势能在一定区域ba,内为零，在此区域外势场被视为无限大，这种模型被称为一维无限深势阱[1]。设某质量为m、能量为E的粒子在一维无限深势阱内运动，它的势能表示为：0)(xUaxax||||(2.1)其定态薛定谔方程为：222()()()()2dxUxxExmdx(2.2)考虑到)(xU的形式，方程(2.2)可化简为：0)(2)(222xxUEmxdxd(2.3)3根据E的不同取值范围,方程(2.2)有不同的解(1)xUE0时方程(2.1)可写为22122222()()0||()()0||dxkxxadxdxkxxadx(2.4)其中,2,22221ExUmKmEK均为正实数。由于在ax||时，，，20KU为使波函数满足单值连续有限条件，只有当0x，(2.4)中第二式成立，由(2.3)和上述条件知：0cossin21xkBxkAxaxax||||(2.5)由x的连续性，即0a得：0cossin11akBakA(2.6)0cossin-11akBakA(2.7)由（2.6）、（2.7）得：0sin1akA(2.8)0cos2akB(2.9)如果A，B同时为零，x处处为零，无意义，所以A，B不能同时为零分为两种情况讨论；（1）0A时，,0cos1ak(2.10)（2)0B时，，0sin1ak(2.11)由（2.10）、（2.11）知10ka分别对应2的奇数倍和偶数倍。0n时对应波函数0x处处为零，不可取。n为负整数时与取正整数时线性相关，也不可取，所以有：4（1），21nak,....5,3,1n(2.12)（2）,21mak.....6,4,2m(2.13)由221mEk，（2.12）（2.13）知,82222manEnn为整数，(2.14)再由（2.5）（2.10）（2.12），得：axnaxxanBx||0,||,2cos为正奇数(2.15)由（2.5）（2.11）（2.13），得：axnaxxanAx，为正偶数0,,2sin(2.16)由（2.15）（2.16）得：axnaxaxanCxn，为正整数，，0),(2sin(2.17)由归一化条件12dxxaan，得：aC1，(2.18)由（2.17）（2.18）得tEinnnextx,，(2.19)nE由（2.14）式给出，其中，n为整数，可知粒子在一维无限深势阱中的能量为一系列分离的值，由（2.19）给出t时刻能量为nE的粒子出现在位置x处的概率：2,txn。2.2.一维势阱一维势阱是指粒子位于0xx处，势能不为零，为某一常数，而在其他的5位置时，粒子的势能为零。考虑在该势阱中可能存在的束缚态，假设质量为m的粒子处在一维势阱中运动，势能函数表示为：)()(0xVxV(2.20)在该势场中，粒子的Schrodinger方程为0),()()x(2m0222ExExVdxd(2.21)在离开原点处，薛定谔方程变为0),()(2m222ExExdxd(2.24)当0E时，粒子处于游离态，能量可取任意正实数，能量连续。当0E时，体系有可能存在束缚态，由于势能函数满足xVxV，且要求束缚态，波函数必有确定宇称。（1）偶宇称通过求解式（2.24）可得kxkxAeAe2100xx(2.25)在原点附近,的范围内对式（2.24）进行积分，并取极限0220200lim()()lim()2mdVxxdxExdxdx(2.26)于是得0202lim()()()0mVx(2.27)0202lim0kkmVAkeAkeA(2.28)得20mVk(2.29)进而可以得到2002mvE(2.30)即一维势阱中运动的粒子的束缚能。由归一化条件1)(2dxxn得：2mrA，(2.31)6考虑（2.25）（2.30）（2.31）得：tEimrtEimrneemreemrtx020222,(2.32)其中0E由（2.30）给出，（2）奇宇称波函数为：kxkxAeAe2100xx(2.33)由波函数的连续性条件知0A，不存在束缚态，当0E时，在0x，处0xV，为游离态。3二维势阱3.1势阱的波函数二维方势阱与一维有限深势阱相类似[3,4]。在二维有限宽度内，势能为零，在此区域外势能函数为有限值，如图3.1所示,其中0V是势阱的深度,势阱的长、宽分别为ba22、,势场函数为00VVbyaxbyax||,||||,||(3.1)图3.1二维方势阱取y、x坐标对应的能量、势能分别为.2121VVEE、、和、这样21EEE,势场函数(3.1)式写作021VVVbyaxbyax||,||||,||(3.2)设势阱中粒子的质量为,1122,EVEV。则描述粒子的定态薛定谔方程为2212122222()0(||,||)ddVVEExaybdxdy(3.3)722122222()0(||,||)ddEExaybdxdy(3.4)对x、y进行分离变量，可将上式变形为12()()0()()0xkxyky||||xayb(3.5)12()()0()()0xkxyky||||xayb(3.6)式中1122EK,2111)(2EVK(3.7)2222EK,2222)(2EVK(3.8)这样,描述粒子在此势阱中运动的波函数为)()(),(yxyx(3.9)粒子的能量2221212()2EEEkk(3.10)在这里,我们仅讨论(3.5),(3.6)式的偶宇称解xkxkeAxkBeAx111111)cos()(axaxax||(3.11)ykykeAykBeAy222222)cos()(bybyby||(3.12)由(3.9)式可知,每一个区域的波函数如下8byaxykBxkBbyaxykBeAbyaxeAeAbyaxeAxkBbyaxeAeAbyaxykBeAbyaxeAeAbyaxeAxkBbyaxeAeAxykykxkykykxkxkxkykykykxk||,||)cos()cos(||,)cos(,,||)cos(,||,)cos(,|,|)cos(,)(221122221211212212221121221221112221(3.13)由于概率密度与波函数的关系2),(yx(3.14)可以得出粒子在以上9个区域出现的概率。3.2二维方势阱根据波函数的连续条件,可以得到如下结果111222(),()kktgkakktgkb(3.15)由于（3.15）式是超越方程,没有解析解,可采用图解法求解。令1112222,;,kakakbkb(3.16)则阱口刚好出现束缚能级的条件为11kanNn,3,2,1(3.17)22kbmMm,3,2,1(3.18)由