2016年数学建模优秀论文A题1

1系泊系统的设计摘要系泊系统是一种通过机械装置将水面结构与固定点进行连接的系统。它能够使被系结构物具有抵御一定环境条件的能力，并在遭遇极端海况时保证结构物和系泊系统本身的安全。本文建立了单点系泊系统的数学模型，并针对不同海况对系泊系统进行结构上的优化设计。针对问题一，首先，假定浮标吃水深度为h，在满足题目要求的情况下，求解得到锚链对浮标、钢管、钢桶整体的作用力；随后从下至上依次对钢桶以及各节钢管进行受力分析，并根据虚功原理得到钢桶、各钢管的倾角与约束力（作为吃水深度h的函数）；之后，根据锚链形状为一悬链线的假设，求解锚链在吃水深度为h时的形状方程；最后，计算锚链、钢桶、钢管、浮标在水下部分的竖直方向的高度作为h的函数，并根据水深为18m的条件计算出h的大小，进而计算得到题目要求的各个参量。结果为：（1）风速为12/ms的情况下，钢桶倾斜角度为1.202°；从下至上各钢管倾斜角度依次为:1.184°，1.176°，1.168°，1.160°；锚链形状方程为：3.98tans；浮标吃水深度0.681m，游动范围为一半径14.65m的圆；（2）风速为24/ms的情况下，钢桶倾斜角度为4.569°；从下至上各钢管倾斜角度依次为:4.502°，4.473°，4.444°，4.415°；锚链形状方程为：15.74tan1.24s；浮标吃水深度0.695m，游动范围为一半径17.78m的圆。针对问题二，将风速36/ms代入问题一的模型中，得到钢桶倾斜角度为9.452°；从下至上各钢管倾斜角度依次为:9.323°，9.267°，9.211°，9.157°；锚链末端与海床夹角为20.905°，形状方程为：34.80tan13.29s；浮标吃水深度0.718m，游动范围为一半径18.87m的圆。由于钢桶的倾斜角度超过5°，且锚链末端与海床夹角超过16°，因此需要将重物球的质量作为自变量，两个角度作为因变量，建立控制模型求解。通过控制重物球的质量，使得钢桶倾角小于5°且锚链末端与海床夹角小于16°。调整后的结果为：重物球的质量大于2262.9kg时钢桶的倾斜角度小于4.5°，锚链末端切线与海床夹角小于16°。针对问题三，首先对问题一及问题二中使用的模型进行改进，在受力分析过程中引入水流力；随后，构建以钢球质量M、水深H、风速v、水流速V、风速与水流速之间的夹角β、锚链的线密度ρ、以及锚链的总长度L为自变量的函数，函数的因变量为钢桶以及各节钢管的倾角、浮标的吃水深度h、以及用于确定锚链形状方程tanskb的参数k和b；之后，考虑到水深大小波动的影响，在人为给定海面风速以及浅海水流速之后，讨论锚链的型号、总长度以及重物球的质量对钢桶及各钢管倾角、浮标吃水深度、锚链形状以及游动区域的影响，并在人为给定的风速与水流速36/ms,1.5/ms且同向的条件下，使用遗传算法得到最优的系泊系统设计为：选用V型锚链20.78m,重物球质量为4560kg.最后，将模型应用于青岛市胶州湾浅海海域，根据区域的实际海水流速、海风风向，得到系泊系统的最优设计。对模型进行客观评价，对模型的实用性进行评估，并给出针对模型缺陷的改进方案。关键词：系泊系统设计受力分析悬链线控制模型多目标优化遗传算法2一、问题重述1.1背景近海的观测网的传输节点由三大系统组成，分别是系泊系统、浮标系统和水声通讯系统。某一传输节点，浮标系统是靠浮力漂浮在水面上的圆柱体。系泊系统是由重物球、钢桶、钢管、电焊锚链和抗拖移锚组成。锚链有四种型号，长度及单位质量各不相同。钢管有4节。为防止锚会被拖行，系统要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度。钢桶内安装有水声通讯系统，并且上面接第四节钢管，下接电焊锚链。最佳工作效果为钢桶竖直时，且当倾斜角度超过五度时设备工作效果差。钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球来控制钢桶的倾斜角度。本设计问题就是确定锚链的型号、长度以及重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。1.2需要解决的问题问题一某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。问题二在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。问题三由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m20m之间。布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。二、问题分析2.1问题一的分析问题一要求在选定电焊锚链和重物球质量的情况下，在某静止海域中计算在两种不同速度下的系泊系统的多项指标。针对此问题，首先假定浮标的吃水深度h已知，利用整体法受力分析，得到锚链施加在钢桶上的作用力。在确定锚链的作用力之后，求解过程主要分为两个方面。一方面，对钢桶、各节钢管从下至上逐步受力分析，利用虚功原理求解倾角并得到约束力，随后将前一步得到的约束力作为下一步的主动力继续求解，直至钢桶、各节钢管的位形全部确定。另一方面，锚链上的作用力确定后可以确定锚链的形状，但此时应当就锚链是否全部悬空进行分类讨论，最后确定锚链实际的形状。完成以上两部分工作，可以求解钢桶、各节钢管、锚链以及浮标在水下的部分在垂向上的高度，表示成为h的函数。最后根据水深为18m这一条件确定h的数值，从而解除题目中要求的各个指标。2.2问题二的分析问题二要求在问题一的假设下，计算36m/s时系泊系统的多项指标，并在此3风速下调节重物球的质量，使得钢桶倾斜角度和锚点的锚链与海床的夹角在规定的范围内。由于基本假设没有改变，因此直接将风速36m/s代入即可求得结果。此时，根据求解得到的结果判断钢桶的倾角是否超过了5°，锚链末端切线与海床的夹角是否超过16°，并对重物球的质量进行调整，是系统满足要求。2.3问题三的分析问题三要求分析在水深、海水速度、风速变化的情况下的系泊系统设计。因为题目中要求的变量相比于一、二问增多，因此需要对问题一及问题二中使用的模型进行改进，并在受力分析过程中引入水流力。在此，考虑构建一个函数模型，其自变量为变化的各个参量，输出结果为题目中要求的各个指标。考虑到水深大小波动的影响，我们先人为给定一组风速，水流速以及两者之间的夹角，在此条件下就每种锚链求得一个最优结果，并挑选一个最优的解作为最后的系泊系统设计。最后，将模型应用于一个具体的浅海海域，根据区域的实际海水流速、海风风向，得到针对该区域的系泊系统最优设计。三、模型假设1.假设钢桶、钢管以及浮标均为刚体，不发生弹性形变；2.假设锚链悬空的部分为形状为悬链线；3.假设锚链、钢管、以及重物球均为钢铁材质，依照铁的密度计算浮力；4.假设浮标竖直，各力作用线通过质心；5.假设海面水平，无波浪的影响；6.假设海床水平.四、符号说明图1符号说明4序号符号符号意义1H水深2M浮标质量3M重物球质量4m钢管质量5m钢桶质量6锚链密度7水海水密度8L锚链长度90钢桶倾斜角10i第i根钢管倾斜角11h浮标吃水深度12锚链与钢桶接触点切线方向夹角130锚链与锚接触点切线方向夹角14g重力加速度15g除去海水浮力后的折合重力加速度16xF锚链对钢桶作用力的x分量17yF锚链对钢桶作用力的y分量5五、模型的建立与求解5.1问题一的模型建立与求解5.1.1受力分析在吃水深度为h的情况下，浮标受到的浮力为：2FRhg浮水（5.1）受到的风应力为：20.6252(2)wFvRh（5.2）浮标自身的重力为Mg.此时浮标受到的各力如图2所示；将浮标、钢桶、钢管以及重物球看做整体，使用整体法进行考虑，受力分析如图3.图2浮标受力分析示意图图3整体法受力分析示意图将锚链作用在钢桶上的力看做外力，系统整体受力平衡，因此有如下关系：xwFF（5.3）4yFFFMgmgmgMg浮桶（5.4）其中F桶为钢桶所受浮力，满足：=FgV桶水桶（5.5）下面对钢桶进行受力分析。钢桶所受力有重物球的折合重力Mg，锚链的拉力F锚（分解为水平和垂直两个方向，分别为xF,yF），自身的重力mg，所受浮力F桶，以及上方钢管施加的约束力。钢桶的受力如图4所示：F浮FF浮桶xFwFyF4MgmgmgMgMg6图4钢桶的受力分析示意图图5第一根钢管受力分析示意图将各力写成直角坐标系下坐标的形式有：(0,)MGMg，(,)xyFFF锚，=(0,-)GFmgVg桶桶水桶.此时，MG与F锚的作用点坐标为：(sin,cos)ll，而GF桶桶的作用点为(sin,cos)22ll，钢桶的倾角为.根据虚功原理：12()()0MFGrFGr锚桶桶（5.6）得到11cos()sin022xyFlFMgVgmgl水桶（5.7）由此可以解得0arctan1122xyFFMgVgmg水桶（5.8）下面求解第一根钢管的倾角。此时钢管收到的力，处折合重力mg以及第二根钢管对其施加的约束力以外，其余外力均由钢桶提供，为1+++MFFGFG锚桶桶（5.9）0mgmg1FMg17同样利用虚功原理1120mFrGr（5.10）得到1cos()sin02xyFlFMgVgmgmgl水桶（5.11）由此解得第一根钢管的倾斜角度的表达式1arctan12xyFFMgVgmgmg水桶（5.12）同理可以求解第二根钢管的倾角，满足虚功原理的方程3cos()sin02xyFlFMgVgmgmgl水桶（5.13）倾斜角度2arctan32xyFFMgVgmgmg水桶（5.14）依次类推得到第三根，第四根钢管的倾斜角度表达式3arctan52xyFFMgVgmgmg水桶（5.15）4arctan72xyFFMgVgmgmg水桶（5.16）5.1.2锚链形状的确定在前面的5.1.1中已经得到锚链上所受的力F锚,它的水平和垂直分量均为浮标吃水深度h的函数。接下来需要确定在这种情况下锚链的形状如何，并计算出锚链的高度，以便根据水深最终求解吃水深度h及各参量。根据模型假设，锚链的形状为一悬链线，是一个双曲余弦函数。为避免在直角坐标系下求解超越方程的困难，我们将该悬链线方程在自然坐标系下写出，其一般形式为tanskb（5.17）坐标原点（即s=0的点）选在锚链与海床的接触点上。对于给定的力F锚，锚链的形状将会呈现以下两种情形，见图6，图7。8图6锚链全部悬空的情形示意图图7锚链不是全部悬空的情形示意图图8求解全部悬空类型的锚链009对于图6所示的情形，锚链与锚的接触点切线方向与海床有一定夹角。此时，锚链全部悬空，施加在锚链上的力F锚的垂直分量yF应当大于锚链的折合重力。根据（5.17），只需要确定参数k与参数b即可确定锚链的方程，具体符号如图7所示。锚链在s处的张力记为T,角度记为；在sds处的张力记为TdT，角度记为d.对一小段线元进行受力分析可以得到在水平方向上()cos()cosTdTdT（5.18）竖直方向上()sin()sinTdTdTgds（5.19）由（5.18）式可以得到cosTC（5.20）其中C为常数，由边界条件确定。将其代入（5.19）式可以得到2secCdgds（5.2