4.利用二次函数解决实际问题

1.(2011江苏省徐州市)某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件．调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件．（1）请写出每月销售该商品的利润y（元）与单价上涨x（元）间的函数关系式；（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？答案：（1）806030010yxx；（2）221010060001056250.yxxx∴当5x时，y有最大值6250.答：单价定为85元时，每月的利润最大，最大利润为6250元.2.(2011江苏省盐城市)利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息:请根据以上信息，解答下列问题：（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元?信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是5元；信息2:甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元．信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了19元.（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元.在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？答案：解：（1）设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价是y元．根据题意，得53(1)2(21)19xyxy，，解得23xy，．答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元．（2）设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s元，则(1)500100(53)3001000.10.1mmsmm．即222000220011002000(0.55)1705smmm．∴当m=0.55时，s有最大值，最大值为1705．答：当m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元．3.(2011江苏省镇江市)某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时．．开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发现：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销售量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销售量．．1y（千克）与x的关系为2140yxx；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销售量．．2y（千克）与t的关系为221yatbt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：t1232y214469（1）求ab、的值；（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克和6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润为多少元？（3）问：从第几天起乙级干果每天的销售量比甲级干果每天的销售量至少多6千克？（说明：毛利润＝销售总金额－进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计．）答案：解：（1）选取表中两组数据，求得120ab，；（2）甲级干果与乙级干果n天销完这批货．则224201140nnnn．即601140n．解之得19n．当19n时，1399y，2741y．毛利润＝3998741611406798（元）；（3）第n天甲级干果的销售量为241n．第n天乙级干果的销售量为219n．(219)(241)6nn≥．解之得7n≥．答：（略）4.(2011辽宁省本溪市)我省某工艺厂为全运会设计了一款成本为每件20元的工艺品，投放市场进行试销后发现每天的销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数．当售价为22元/件时，每天销售量为780件；当售价为25元/件时，每天销售量为750件．（1）求y与x的函数关系式；（2）如果该工艺品售价最高不能超过每件30元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=售价－成本）答案：解：（1）设y与x的函数关系式为ykxb（0k）把22x，780y；25x，750y代入，得2278025750kbkb，．解得101000kb，．函数关系式是101000yx．（2）设该工艺品每天获得的利润为w元，则(20)wyx(101000)(20)xx·210(60)16000x．100当2030x≤时，w随x的增大而增大，所以当售价定为30元/时，该工艺品每天获得的利润最大．即210(3060)160007000w最大（元）答：售价定为30元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是7000元．5.(2011辽宁省沈阳市)一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍（本题中0＜x≤1）．（1）用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为________元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为_________元．（2）求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式．（3）设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润=（每件玩具的出厂价－每件玩具的成本）×年销售量．答案：解：（1）①10＋7x，②12＋6x．（2）y=(12＋6x)－（10＋7x），y=2－x．（3）∵w=2（1＋x）（2－x）=－2x2＋2x＋4，∴w=－2(x－0.5)2＋4.5．∵－2＜0，0＜x≤11，∴w有最大值，∴当x=0.5时，w最大=4.5（万元）．答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元．6.(2011青海省)已知一元二次方程2430xx的两根是mn，且mn.如图，若抛物线2yxbxc的图象经过点(0)0AmBn，、(，)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C．根据图象回答，当x取何值时，抛物线的图象在直线BC的上方？（3）点P在线段OC上，作PEx⊥轴与抛物线交于点E，若直线BC将CPE△的面积分成相等的两部分，求点P的坐标．答案：解：（1）2430xx的两个根为1213xx，．A点坐标为(10)，，B点坐标为(03)，．又抛物线2yxbxc的图象经过点(10)(03)AB，，，两点，103bcc得23bc抛物线的解析式为223yxx．（2）作直线BC，由①得223yxx．抛物线223yxx与x轴的另一交点为C，令2230xx．解得：1213xx，．C点坐标为(30)，．由图可知：当30x时，抛物线的图象在直线BC的上方．（3）设直线BC交PE于FP，点坐标为(0)a，，则E点坐标为2(23)aaa，．直线BC将CPE△的面积分成相等的两部分，F是线段PE的中点．即F点坐标是2232aaa，．直线BC过点(03)B，和点(30)C，．易得直线BC的解析式为3yx．点F在直线BC上，所以点F的坐标满足直线BC的解析式，即22332aaa．解得1213aa，（此时P点与点C重合，舍去）P点的坐标是(10)，．7.(2011山东省聊城市)某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（）A．50mB．100mC．160mD．200m答案：C8.(2011山东省青岛市)某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．（1）写出销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）写出销售该品牌童装获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少元？20.50.4单位：m答案：解：（1）由题意，得：2008020vx=201800x．答：y与x之间的函数关系式是2201800yx．（2）由题意，得：60201800wxx=2203000108000xx．答：w与x之间的函数关系式是203000108000yxx．（3）由题意，得：20180024076xx，．≥≥解得7678x≤≤．2203000108000wxx，对称轴为300075220x，又0a，∴当7678x≤≤时，w随x增大而减小．∴当76x时，7660207618004480w最大．答：这段时间商场最多获利4480元．9.(2011四川省成都市)某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙（墙的长度不限），另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD．已知木栏总长为120米，设AB边的长为x米，长方形ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．当x为何值时，S取得最值（请指出是最大值还是最小值）？并求出这个最值；（2）学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为1O和2O，且1O到ABBCAD、、的距离与2O到CDBCAD、、的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当（1）中S取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．答案：解：（1）据题意，得1202BCx．212022120Sxxxx．20，当1203022x时，围墙ABCDO1O2r围墙ABCDO1O22120180042S最大值（平方米）．（2）由（1），当S取得最大值时，有30AB，60BC.设1O⊙的半径为r米，圆心1O到AB的距离为y米．据题意，得2302260yyr，．解得1515yr，．00.5yr，这个设计不可行．10.(2011天津市)注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？设每件商品降价x元、每天的销售额为y元．（Ⅰ）分析：根据问题中的数量关系，用含x的式子填表：原价每件降价1元每件降价2元…每件降价x元每件售价（元）353433…每天销量（件）505254…（Ⅱ）（由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解）答案：解：（Ⅰ）35x；502x．（Ⅱ）根据题意，每天的销售额35502035yxxx，配方，得2251800yx，当5x时，y取得最大值1800．答：当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为1800元．11.(2011贵州省贵阳市)本题满分12分）用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图①②③中的一种）．设竖档ABx米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所