必修5第三章章末归纳提升

服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5]服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5]服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5]在应用不等式性质时要注意每个性质的使用条件，不要盲目乱用或错用．特别地在应用乘法性质时，容易漏掉“同正”这一条件，另在进行不等式加减运算时，要注意不等式与等式间线性运算的区别，切勿因直接加减以增大或缩小不等式的范围．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5]如果a，b，c满足cba且ac0，则下列选项中不一定成立的是()A．abacB．c(b－a)0C．cb2ab2D．ac(a－c)0【思路点拨】对照已知条件结合不等式的基本性质逐项验证．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5]【规范解答】cba，ac0⇒a0，c0.对于A：bca0⇒abac，A正确．对于B：ba⇒b－a0c0⇒c(b－a)0，B正确；对于C：cab2≥0⇒cb2≤ab2D⇒/cb2ab2，C错，即C不一定成立．对于D：ac0，a－c0⇒ac(a－c)0，D正确．【答案】C服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5]已知a，b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是()A．a2b2B．a2ba2C.1ab21a2bD.baab【解析】∵ab，1a2b20，∴a·1a2b2b·1a2b2，∴1ab21a2b.【答案】C服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5]不等式中的恒成立问题，既是学习中的难点，又是高考中的热点，在求解不等式中的恒成立问题时，要注意转化，利用数形结合的方法，构造不等式或不等式组进行探讨．常见的解决恒成立问题的方法有：(1)判别式法；(2)数形结合法；(3)分离参数法；(4)分类讨论法．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5]设函数f(x)＝mx2－mx－6＋m.(1)若对于m∈[－2,2]，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围．【思路点拨】在(1)中已知m的取值范围，要求x的取值范围，需要把f(x)转化为m的函数，即以m为主元，把x视为参数，在(2)中，则恰好相反．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5]【规范解答】(1)设f(x)＝m(x2－x＋1)－6＝g(m)，则g(m)是关于m的一次函数，且一次项系数x2－x＋1＝x－122＋340，∴g(m)在[－2,2]上单调递增，∴g(m)0⇔g(2)＝2(x2－x＋1)－60，即－1x2，∴所求x的取值范围为(－1,2)．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5](2)法一∵f(x)＝mx－122＋34m－60在x∈[1,3]上恒成立，∴m0，f3＝7m－60或m0，f1＝m－60或m＝0，fx＝－60，解得m的取值范围为m67.服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5]法二要使f(x)＝m(x2－x＋1)－60在[1,3]上恒成立，则有m6x2－x＋1在x∈[1,3]时恒成立．而当x∈[1,3]时，6x2－x＋1＝6x－122＋34≥6522＋34＝67，∴m的取值范围为m67.服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5]不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－10对一切实数x恒成立，求m的取值范围．【解】当m2－2m－3＝0时，m＝－1或3.而m＝3时，－10符合题意，所以m＝3；当m2－2m－3≠0时，应有m2－2m－30－m＋32＋4m2－2m－30⇒－1m3－15m3⇒－15m3.综上可得，m的取值范围是m－15m≤3.服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5]线性规划问题是在二元一次不等式(组)所表示的平面区域后学习的，主要是想通过该工具解决生产、生活实际中的最值问题(如用料最省，效益最大等)，解线性规划问题时应首先准确列出二元一次不等式(组)，并画出相应平面区域，在此基础上利用数形结合的思想寻找目标函数的最值，需特别说明一点：用好斜率间的关系是避免找错最优解的关键．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5](2013·广东高考)已知变量x，y满足约束条件x－y＋3≥0，－1≤x≤1，y≥1，则z＝x＋y的最大值是________．【思路点拨】画出线性约束条件表示的平面区域，用图解法求最值．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5]【规范解答】画出平面区域如图阴影部分所示，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，z表示直线y＝－x＋z在y轴上的截距，由图知，当直线y＝－x＋z经过点B(1,4)时，目标函数取得最大值，为z＝1＋4＝5.【答案】5服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5](2013·湖南高考)若变量x，y满足约束条件x＋2y≤8，0≤x≤4，0≤y≤3，则x＋y的最大值为________．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5]【解析】如图，作出不等式组表示的平面区域，平行移动z＝x＋y，易知当直线z＝x＋y经过点A(4,2)时，z取最大值6.【答案】6服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5]利用基本不等式求函数最值，证明不等式、解决实际问题历年都是高考的热点．基本不等式通常用来求最值问题：一般用a＋b≥2ab(a≥0，b≥0)求“定积求和，和最小”问题，用ab≤a＋b22求“定和求积、积最大”问题．一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法，构造定值条件的方法，及对等号能否成立的验证．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5]若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用基本不等式解决实际问题．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5]已知0x2，求函数y＝x(8－3x)的最大值．【思路点拨】利用基本不等式解题时，求积的最大值，和必须是定值，而此时两数x与8－3x的和不是定值，如果乘一个常数3，那么两数3x与8－3x的和是定值．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5]【规范解答】∵0x2，∴03x6，∴8－3x0，∴y＝x(8－3x)＝13·3x·(8－3x)≤13·3x＋8－3x22＝163，当且仅当3x＝8－3x，即x＝43时，取等号．∴当x＝43时，y＝x(8－3x)取得最大值，最大值为163.服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5]已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．【解析】log2a＋log2b＝log2ab，∵log2a＋log2b≥1.∴ab≥2且a0，b0.3a＋9b＝3a＋32b≥23a·32b＝23a＋2b≥2322ab≥232×2＝18，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立．∴3a＋9b的最小值为18.【答案】18服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5]分类讨论是一种重要的解题策略，分类相当于缩小讨论的范围，故能将问题化整为零，各个击破．分类讨论的一般步骤：①明确讨论对象，确定对象的范围；②确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；③逐类讨论，获得阶段性结果；④归纳总结，得出结论．本章中求解含参数的一元二次不等式是要用到分类讨论的思想，根据不同题目，常见分类方法有以下三种：服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5]1．对二次项系数分类讨论．若二次项系数含有参数a，则a的符号影响与不等式对应的函数的图象的开口方向，从而对不等式的解集有影响，需分a0，a＝0，a0三种情况讨论．2．对判别式分类讨论．若判别式Δ中含有参数a，则Δ的符号影响对应方程的解的个数，从而对不等式的解集有影响，需分Δ0，Δ＝0，Δ0三种情况讨论．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5]3．对根的大小分类讨论．若与不等式对应的方程的根x1，x2中含有参数，那么x1，x2的大小影响不等式解集的取值，需分x1x2，x1＝x2，x1x2三种情况讨论．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5]解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋10.【思路点拨】二次项系数中含有参数a，需要对a的符号进行分类讨论．服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5]【规范解答】若a＝0，原不等式变为－x＋10，即x1.若a0，原不等式变为x－1a(x－1)0，此时对应方程x－1a(x－1)＝0的两根为x1＝1a，x2＝1，∴不等式的解集为xx1a或x1.服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5]若a0，原不等式变为x－1a(x－1)0，此时对应方程x－1a(x－1)＝0的两根为x1＝1a，x2＝1.当1a＝1，即a＝1时，不等式的解集为∅；当1a1，即0a1时，不等式的解集为x1x1a；服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5]当1a1，即a1时，不等式的解集为x1ax1.综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x1}；当a0时，不等式的解集为xx1a或x1；当0a1时，不等式的解集为x1x1a；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a1时，不等式的解集为x1ax1.服/务/教/师免/费/馈/赠数学[新课标·必修5]解关于x的不等式x－ax－a20(a∈R)．【解】原不等式等价于(x－a)(x－a2)0.讨论：①若a＝0，则a＝a2＝0，不等式为x20，解集为∅；②若a＝1，则a2＝1，不等式为(x－1)20，解集为∅；③若0a1，则a2a，∴a2xa，故解集为{x|a2xa}；④若a0，或a1，则a2a，∴axa2，故解集为{x|axa2}．