R^n空间

空间第四节nR.度量空间的概念.1之间的距离：中两点),(),,(21212yyyxxxR;)()(),(222211yxyxyxd之间的中两点),,,(),,,,(2121nnnyyyyxxxxR.)(),(12niiiyxyxd距离：之间的距离：中两点yxR,1;),(yxyxd),(21xx),(21yy),(21xx空间中的本节主要介绍nR.本概念距离、邻域、区间等基).,(),(),().3(yzdzxdyxd三角不等式：);,(),().2(xydyxd对称性：，非负性：0),().1(yxd具有：距离),(yxd的直积定义为：定义),,2,1(6.4.1niAi},,,2,1,),,,({2121niAxxxxAAAiinn，即简记为niiA1yxz.211nniiAAAA;0),(yxyxd且.6.4.128”提前讲页“定义将义：下面给出距离空间的定是一非空集合，且存在：设定义X1.4.1),0[:XXd满足距离二公理：;0),(0),().1(yxyxdyxd，且正定性：).,(),(),().2(zydzxdyxd三角不等式：，为度量空间或距离空间则称其中),(,,,dXXzyx.,),(之间的距离为点中的元素称为点，yxyxdX).,(),(),(),(xydxydxxdyxd由三角不等式得：，同理：),(),(yxdxyd.),(),(（对称性）于是yxdxyd).,(),(),(yzdzxdyxd：三角不等式又可以写为度量空间实例.2，欧式空间),().1(dRn,),,,(),,,,(2121nnnRyyyyxxxx对;])([),(21121niiiyxyxd;),(12niiiyxyxd.max),(13iiniyxyxd其中：，其中对离散空间XyxdX,),().2(.,0,1),(yxyxyxd.)2()1(的验证（略）、,)()(max),(tytxyxdbta定义对例],,[)(),(.1baCtytx.)],,[(为距离空间则dbaC且证明：;0)()(max),().1(tytxyxdbta有],,[)(],,[).2(baCtzbat),(yxd).,(),()()(maxyzdzxdtytxbta),(),()()()()()()(yzdzxdtytztztxtytx.)],,[(为距离空间故dbaC0)()(max),(tytxyxdbta；))(()(btatytx.),(,])([),(22112为距离空间则dlyxyxdiii},),,,,,({.212212iiixxxxxxl设例显然成立；证明：)1(211221122112])(])(])(niiiniiiniiiyzzxyx得令,n211221122112])(])(])(iiiiiiiiiyzzxyx中三角不等式由对nRlzyx,,,).2(2).,(),(),(yzdzxdyxd即.),(2为距离空间故dl极限与邻域.2邻域，的为：称集合定义00}),({2.4.1pppdp即或记为).(),,(00pUpU}.),({),(00ppdppU.不同同，其邻域的形状可能注意：距离的规定法不的形状如下中，按距离不同定义如在),(02pUR,])([),(212121iiiyxyxd.max),(213iiiyxyxd：则按1d：则按3d0p0p.},),(0{),(000空心邻域的称为记pppdppUo);()1(pUp：邻域具有如下基本性质；，，对)()()()()().2(21321pUpUpUpUpU；，对)()()().3(pUqUpUq.)()(),(),().4(212121pUpUpUpUpp使得，对p1p2pqp.下面给出点列极限定义若：设定义),(,3.4.10NmRPPnm,0),(lim0PPdmm，记为收敛于则称点列0}{PPm,lim0PPmm.0）（当或mPPm.),(,,0,00PPdMmMm有0limPPmm).,(,,0,00PUPMmMm有),,2,1(lim)0()(nixximim有由),,,,(),,,,()0()0(2)0(10)()(2)(1nmnmmmxxxPxxxP、区间集与集的距离、有界集.3非空，、：集定义BA4.4.1的距离定义为与BA).,(inf)(,qpdBAdBqAp，至少有一个为空集，，若BA.0)(BAd，规定},{xB若).()(xAdBAd，，记，若BA.0),(BAd则AB}{xAAB的直径定义为：非空点集定义E5.4.1).,(sup)(,qpdEEqp.0)(规定.,)(为有界集则称若EE.0)(为空集或为单元素集显然，EE.中的区间义nR下面定为端点的区间为记直线上以,,,babaEEniiiiiIInibaI1),,,2,1(,7.4.1称：设定义中的区间，为欧式空间nR.中的无界区间为是无界区间，则称有一个niRII中的有界区间中的有界区间为矩形注：32,RR长方体中的有界区间也称为为因此，为长方体nR.闭区间开区间左闭右开区间有界区间，)区间；如果至少)闭、左都是开如果所有(iI中的开为则称nRI开右闭、左闭右开、有界开、闭、左开右闭、左闭右(EI存在有界区间有界E.)(EpU存在有界邻域称：设定义),,,2,1(,8.4.1nibaIiii的为区间IababababInnniii)())(()(22111:2面积中的区间体积即为矩形R.3体体中的区间体积即为长方R:1长度中的区间体积即为区间注：R);)((2211ababI;11abI).)()((332211abababIniiII1.,即体积