群的基本概念

群论（GroupTheory）群（Group）的概念开始于19世纪初叶。群论（GroupTheory）的早期发展归功于著名的数学家高斯（Gauss）、柯西（Cauchy）、阿贝尔（Abel）、哈密顿（Hamilton）、伽罗瓦（Galois）等。但是直到1925年出现了量子力学之后，才发现它在物理学中许多应用。贝特（Bethe）和维格纳（Wigner）等人很快认识到群论在物理学中的应用，把这一新的工具用于计算原子结构和光谱。利用群论方法，可以直接对体系的许多性质作出定性的了解，可以简化复杂的计算，也可以预言物理过程的发展趋向。目前在物理学和物理化学的许多分支中，群论已经成为不可缺少的工具。群论源于十九世纪初，起源于对代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果。群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。群论历史群论是法国传奇式人物伽罗瓦（Galois，1811~1832年）的发明。他用该理论，具体来说是伽罗瓦群，解决了五次方程问题。柯西（Augustin-LouisCauchy,1789~1857年)，阿贝尔（NielsHenrikAbel，1802~1829年）等人也对群论的建立做了很多贡献。•阿贝尔简介：•（阿贝尔：Abel,1802—1829）任何一部数学家词典中的第一人，是十九世纪最伟大的数学家之一，是挪威空前绝后的最伟大的学者。……后人整理他的遗著花了150年。不幸的挪威数学家阿贝尔•三百多年弄不清楚的问题：五次及五次以上的方程的公式解•法国数学家拉各朗日称这一问题是在“向人类的智慧挑战”。•1770年拉格朗日分析了二次、三次、四次方程根式解的结构之后，提出了方程的预解式概念，并且还看出预解式和方程的各个根在排列置换下的形式不变性有关，这时他认识到求解一般五次方程的代数方法可能不存在。代数学发展过程中：•挪威数学家阿贝尔利用置换群的理论，给出了高于四次的一般代数方程不存在代数解的证明。•阿贝尔率先解决了这个引人瞩目的难题。可是，由于阿贝尔生前只是个默默无闻的“小人物”，他的发明创造竞没有引起数学界的重视。•在失望、劳累、贫困的打击下，阿贝尔不满27岁就离开了人间，使他未能彻底解决这个难题。比如说：为什么有的特殊高次方程能用根式解呢?如何精确地判断这些方程呢？•他死后第二天，伦敦大学校长的特使，手持校长的邀请函来到挪威师范学院寻找阿贝尔殒落的新星•1832年5月30日清晨，法国巴黎郊外进行了—场决斗。枪声响后，一个青年摇摇晃晃地倒下了。第二天一早，他就匆匆离开了人间，死时还不到21岁。死前这个青年沉痛地说：“请原谅我不是为国牺牲。我是为一些微不足道的事而死的。”•这个因决斗而死去的青年，就是近代数学的奠基人之一、历史上最年轻的著名数学家伽罗瓦。•1811年10月25日，伽罗瓦出生在法国巴黎附近的一个小镇上。更加不幸的法国数学家伽罗瓦•伽罗瓦（1811.10.25—1832.5.30）浪漫的法国人一直为他们早逝的、划时代的、人类有史以来最聪明的、思想最深刻的、最倒霉的数学家感到自责。……他留下了100页数学文稿，被发展成一门艰深、应用广泛的学科----抽象代数或称群论。经常被老师斥为笨蛋•小时候，伽罗瓦并末表现出特殊的数学才能，相反，他12岁进入巴黎的一所公文中学后，还经常被老师斥为笨蛋。•伽罗瓦当然不是笨蛋，他性格偏执，对学校死板的教育方式很不适应，渐渐地，他对很多课程都失去了兴趣，学习成绩一直很一般。伽罗瓦遇到了数学教师里沙•在中学的第三年，伽罗瓦遇到了数学教师里沙。里沙老师非常善于启发学生思维，他把全部精力都倾注在学生身上，还常常利用业余时间去大学听课，向学生传授新知识。很快，伽罗瓦就对数学产生了极大的兴趣。他在里沙老师的指导下，迅速学完了学校的数学课程，自学了多名数学大师的著作。他盯上了著名的世界数学难题•不久，伽罗瓦的眼睛盯上了：高次方程的求根公式问题。•16世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人，发现了三次方程的求根公式。这个公式公布后没两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求根公式。当时，数学家们非常乐观，以为马上就可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程的求根公式了。然而，时光流逝了几百年，谁也找不出一个这样的求根公式。站在巨人阿贝尔的肩膀上面•这样的求根公式究竟有没有呢?在伽罗瓦刚上中学不久，年轻的挪威数学家阿贝尔已经作出了回答：“没有。”阿贝尔从理论上予以证明，无论怎样用加、减、乘、除以及开方运算，无论将方程的系数怎样排列，它都决不可能是一般五次方程的求根公式。伽罗瓦向世纪难题发起了挑战•1828年，也就是阿贝尔去世的前一年，伽罗瓦也向这个数学难题发起了挑战。•他自信找到了彻底解决的方法，便将自己的观点写成论文，寄给法国巴黎科学院。•负责审查伽罗瓦论文的是柯西和泊松，他们都是当时世界上第一流的数学家。柯西不相信一个中学生能够解决这样著名的难题，顺手把论文扔在一边，不久就丢失了；•两年后，伽罗瓦再次将论文送交巴黎科学院。这次，负责审查伽罗瓦论文的是傅立叶。不巧，也就是在这一年，这位年迈的著名数学家去世了。伽罗瓦的论文再一次给丢失了。他考进了巴黎高等师范学校•伽罗瓦的论文一再被丢失的情况，使他很气愤。•这时，他已考进了巴黎高等师范学校；并得知了阿贝尔去世的消息，同时又发现，阿贝尔的许多结论，他已经在被丢失的论文中提出过。•在1831年，伽罗瓦向巴黎科学院送交了第三篇论文，题目是《关于用根式解方程的可解性条件》。这一次，著名数学家泊松仔细审查了伽罗瓦的论文。年迈的泊松感到难于理解•由于论文中出现了“置换群”等崭新的数学概念和方法，泊松感到难于理解。几个月后，他将论文退还给伽罗瓦；嘱咐写一份详尽的阐述送来，可是，伽罗瓦已经没有时间了。•在大学里，伽罗瓦由于积极参加资产阶级革命活动，被学校开除了。伽罗瓦预感到死亡即将来临•1831年5月和7月，他又因参加游行示威活动两次被捕入狱，遭受路易--菲利浦王朝的迫害，直到1832年4月29日，由于监狱里流行传染病，伽罗瓦才得以出狱。•伽罗瓦恢复自由不到一个月，爱上了一个舞女，并因此被迫与一个军官决斗。•决斗前夕,伽罗瓦预感到死亡即将来临，他匆忙将数学研究心得扼要地写在一张字条上，并附以自己的论文手稿，请他的朋友交给当时的大数学家们。他坚信自己的理论正确•伽罗瓦自豪地写道：“你可以公开请求雅可比或者高斯，不是对这些东西的正确性，而是对它的重要性表示意见。”•我希望，今后能有人认识这些东西的奥妙，并作出恰当的解释。•1846年法国数学家刘维尔首先“认识到这些东西的奥妙”，将它们发表在自已主办的刊物上，并撰写序言热情向数学界推荐。他在天亮之前那最后几个小时写出的东西，为一个折磨了数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案，并且开创了数学的一片新的天地。伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗瓦理论。正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程。正是这套理论为数学研究工作提供了新的数学工具—群论。它对数学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数学发展现代阶段的开始。时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群、算术群等，并在结晶学、理论物理、量子化学以至（代数）编码学、自动机理论等方面，都有重要的应用。群论与对称性群论是研究系统对称性质的数学工具。物理学中的对称性和守恒定律物理学中的许多规律常常具有一些对称性质，从一种对称性质就可以推导出一种守恒定律：①空间坐标平移不变性（系统拉氏函数L不变）动量守恒②L在空间转动下对称角动量守恒③L在时间平移下对称能量守恒rr④空间反演（）对称宇称守恒⑤晶体平移对称性（平移晶格常数的整数倍）Bloch定理⑥全同粒子交换对称性玻色子，费米子⑦标度变换对称性临界现象，非线性物理，生命起源……今天，群论经常应用于物理领域。我们经常用群论来研究对称性，这些对称性能够反映出在某种变化下的某些变化量的性质。它也跟物理方程联系在一起。另外，晶体学中早期的关于晶体的各种结构的问题中，也是靠群论中的费得洛夫群的研究给出了答案。群论指出，空间中互不相同的晶体结构只有确定的230种。（230个空间群）对称群理论在先进（陶瓷）材料中的应用通过对这些具有一定力学性能、物理性能的材料的微观本质的分析，可以反过来利用对称群分析看看可以通过哪些方式（如掺杂等）来改变晶体的晶格以获得性能更佳、物理效应更显著的晶体。（压电、铁电、热释电、光学性能等）对称性晶体结构相似的物理性能（压电、铁电、热释电、光学性能等）对称性分析改变晶体的结构提高材料的性能2、《群论及其在物理学中的应用》1、《群论及其在固体物理中的应用》（徐婉棠、喀兴林编著，高教出版社）参考书：4、《线性代数》3、《物理学中的群论》（马中骐编著，科学出版社）（谢希德、蒋平、陆奋著）科学出版社《群论及其在固体物理中的应用》第一、二章：讨论有限群及其表示的基本数学理论；第三、四章：讨论点群在分析晶体宏观性质中的应用；第五章：讨论群论与量子力学的关系；第六章：讨论空间群的不可约表示及其在能带理论中的应用；第七、八章：介绍晶格动力学中的群论方法，色群及其表示理论。第一部分群论基础第一章群的基本知识§1.1群一、群的定义:有限或无限个元素（数学对象）或操作的集合{A,B,C,D…}，其中有一个与次序有关的运算方法（群乘），具备下列条件,则构成群（G）。集合中的元素（A,B,C,D…）称为群元。1,封闭性,AB=C（AA=D）2,结合律,A(BC)=(AB)C3,单位元（不变元素）E,EA=AE=A4,逆元A-1,AA-1=A-1A=E二、群的性质:1、E-1=E,单位元E的逆元仍为E,证：（1）E-1E=EE-1=E（令：A=E，由A-1A=AA-1=E）（2）EE-1=E-1E=E-1（令：A=E-1，由EA=AE=A）由（1）和（2）E=E-12、(A-1)-1=A,逆元之逆元为元素本身证：(A-1)-1=(A-1)-1E=(A-1)-1（A-1A)=[(A-1)-1A-1]A=EA=A3、(AB)-1=B-1A-1证明:∵(AB)-1=(AB)-1E=(AB)-1AA-1E=(AB)-1AEA-1=(AB)-1A（BB-1）A-1=(AB)-1(AB)B-1A-1=EB-1A-1=B-1A-1∴(AB)-1=B-1A-1三、群阶:群元的数目（g）离散的无限群（可数的无穷多）连续群（不可数的无穷多）无限群∞有限群h（g为有限）2、交换群（阿贝尔群）：群乘与群元的顺序无关AB=BA1、群乘：将集合中的任意两个元素构成唯一的另一个元素的一种运算。群乘不一定是代数运算中的乘法（如相继操作），也不一定满足交换律。四,可换群:(Abel阿贝尔群)五、群的实例（群元和群乘）1,数群:以数为群元，以数学运算为群乘，构成数群例(1)：全部正负整数(包括0)的集合，群乘为加法E=0，A=n,A-1=-n这是离散的无限群、交换群例(2)：全部正负整数(不包括0)的集合，群乘为乘法E=1，A=n,A-1=1/n提问：这是不是群？为什么？答案：不是，因为A-1=1/n不是整数，A没有逆元。全部正负实数(不包括0)的集合，群乘为乘法（构成群-连续群）例（3）：全部正负实数的集合，群乘为数乘E=1，A=n,A-1=1/n提问：这是不是群？为什么？答案：不是，因为当n=0时，A-1=1/n不在集合内。当n≠0时，A-1=1/n在集合内。例（4）集合{1，-1}在数乘运算下构成一个群。例（5）集合{1，-1，i，-i}构成群。群元由ik构成。（k=0，1，2，3）循环群：一个群的所有群元可以由某个元的幂来产生。如例（5）循环群都是阿贝尔群。E=1，A-1=A2、置换群：以变换位置的操作为群元，以相继操作为群乘，构成置换群例:Z3